Вправа 16.31 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.31. За якого значення $m$ числа $m^2 - 4$, $m$, $2m + 3$ і $4m^2 + 5$ є послідовними членами арифметичної прогресії?
Чотири числа утворюють АП, якщо всі різниці між сусідніми рівні. Прирівняємо першу і другу різниці:
$m - (m^2 - 4) = (2m + 3) - m$.
$m - m^2 + 4 = m + 3$.
$-m^2 + 4 = 3$; $m^2 = 1$; $m = \pm 1$.
Прирівняємо другу і третю різниці:
$(2m + 3) - m = (4m^2 + 5) - (2m + 3)$.
$m + 3 = 4m^2 - 2m + 2$.
$4m^2 - 3m - 1 = 0$; $(4m + 1)(m - 1) = 0$; $m = -\dfrac{1}{4}$ або $m = 1$.
Спільний розв'язок обох систем: $m = 1$.
Перевірка при $m = 1$: $-3;\;1;\;5;\;9$ ($d = 4$) ✓.
Умова АП для чотирьох членів
$a$, $b$, $c$, $e$ — послідовні члени АП $\Leftrightarrow$ всі різниці рівні:
$b - a = c - b = e - c$.
Прирівнюємо попарно: $b-a = c-b$ і $c-b = e-c$, отримуємо дві умови на параметр.
Чому потрібні дві умови? При трьох членах достатньо однієї рівності ($2b = a+c$). При чотирьох — дві рівності ($b-a = c-b$ і $c-b = e-c$). Кожна дає квадратне рівняння, і лише спільний розв'язок підходить.
$m = -1$ задовольняє першу умову, але не другу. При $m=-1$: $-3;\,-1;\,1;\,9$ — різниці $2;\,2;\,8$ — не рівні! Тому $m=-1$ відкидаємо.
$m = -\frac{1}{4}$ задовольняє другу умову, але не першу. При $m=-\frac{1}{4}$: $-\frac{63}{16};\,-\frac{1}{4};\,2\frac{1}{2};\,\ldots$ — перша різниця інша. Теж відкидаємо.
Єдиний збіг — $m = 1$. Тільки він задовольняє обидві умови одночасно.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.