Вправа 16.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.32. Послідовність $(a_n)$ — арифметична прогресія. Знайдіть:
- $a_5 + a_{19}$, якщо $a_1 + a_{23} = -37$;
- $a_{17}$, якщо $a_{10} + a_{24} = 5$.
1) $a_5 + a_{19}$, якщо $a_1 + a_{23} = -37$
$1 + 23 = 24 = 5 + 19$. Суми номерів рівні.
За властивістю АП: $a_k + a_m = a_p + a_q$ при $k + m = p + q$.
$a_5 + a_{19} = a_1 + a_{23} = $ $-37$.
2) $a_{17}$, якщо $a_{10} + a_{24} = 5$
$10 + 24 = 34 = 17 + 17$. Тому:
$a_{10} + a_{24} = a_{17} + a_{17} = 2a_{17}$.
$2a_{17} = 5$; $a_{17} = 2{,}5$.
Властивість симетричних членів АП
Якщо $k + m = p + q$, то $a_k + a_m = a_p + a_q$.
Зокрема: $a_k + a_m = 2a_n$, де $n = \dfrac{k+m}{2}$ (якщо $k+m$ парне).
Доведення
$a_k + a_m = [a_1 + (k-1)d] + [a_1 + (m-1)d] = 2a_1 + (k+m-2)d$.
При $k+m = p+q$ обидві суми дають один і той самий вираз.
Ключовий прийом: перевіряй суму номерів. Перш ніж щось рахувати — подивись, чи рівні суми індексів. $1+23=24=5+19$ — рівні, тому суми членів рівні. Відповідь без будь-яких обчислень.
Пункт 2): «середній» член. $10+24=34$, $34/2=17$ — середина між 10 і 24. Сума двох симетричних членів = подвоєному середньому: $a_{10}+a_{24} = 2a_{17}$. Звідси $a_{17} = 5/2$.
Зв'язок із властивістю середнього члена. Для трьох послідовних $a_{n-1};\,a_n;\,a_{n+1}$: $a_{n-1}+a_{n+1} = 2a_n$. Це та сама властивість, просто узагальнена на будь-які пари з рівною сумою номерів.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.