Вправа 16.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.34. Доведіть, що якщо числа $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$ і $\dfrac{1}{a+b}$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $a^2$, $b^2$ і $c^2$ також утворюють арифметичну прогресію.
Дано, що $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ — АП. Тоді середній член вдвічі більший за суму крайніх:
$\dfrac{2}{a+c} = \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+b}$.
Зведемо праву частину до спільного знаменника:
$\dfrac{2}{a+c} = \dfrac{(a+b)+(b+c)}{(b+c)(a+b)} = $
$ = \dfrac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}$.
Звідси:
$2(a+b)(b+c) = (a+c)(a+2b+c)$.
Розкриємо ліву частину: $2(ab+ac+b^2+bc) = $
$= 2ab+2ac+2b^2+2bc$.
Розкриємо праву: $(a+c)(a+2b+c) = $
$= a^2+2ab+ac+ac+2bc+c^2 = $
$= a^2+2ab+2ac+2bc+c^2$.
Прирівнюємо: $2ab+2ac+2b^2+2bc = $
$= a^2+2ab+2ac+2bc+c^2$.
$2b^2 = a^2 + c^2$, тобто $a^2 - b^2 = b^2 - c^2$.
Отже, $a^2$, $b^2$, $c^2$ утворюють арифметичну прогресію. $\blacksquare$
Ознака АП через середній член
$a$, $b$, $c$ — АП $\Leftrightarrow$ $2b = a + c$.
Схема доведення «якщо $P$, то $Q$»
1) Записати умову $P$ у вигляді рівності.
2) Перетворити рівність до вигляду умови $Q$.
3) Зробити висновок, що $Q$ виконується.
Ключовий крок — розкрити дужки і скоротити. Після розкриття обох частин $2ab+2ac+2bc$ скорочуються з обох боків — залишається $2b^2 = a^2+c^2$. Саме це і потрібно довести.
16.34 і 16.35 — обернені твердження. У 16.34: з АП дробів → АП квадратів. У 16.35 — навпаки. Обидва доводяться аналогічно через розкриття дужок, лише «напрямок» різний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.