Вправа 16.35 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.35. Доведіть, що якщо числа $a^2$, $b^2$ і $c^2$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$ і $\dfrac{1}{a+b}$ також утворюють арифметичну прогресію.
Дано: $a^2$, $b^2$, $c^2$ — АП, тобто $2b^2 = a^2 + c^2$.
Треба довести: $\dfrac{2}{a+c} = \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+b}$.
Права частина:
$\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+b} = \dfrac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}$.
Умова $2b^2 = a^2+c^2$ рівнозначна $a^2 - b^2 = b^2 - c^2$, тобто $(a-b)(a+b) = (b-c)(b+c)$.
Потрібно перевірити: $2(a+b)(b+c) = (a+c)(a+2b+c)$.
Ліва частина: $2(a+b)(b+c) = 2ab+2ac+2b^2+2bc$.
Права частина: $(a+c)(a+2b+c) = a^2+2ab+2ac+2bc+c^2$.
Рівність виконується $\Leftrightarrow$ $2b^2 = a^2+c^2$ — що й дано. $\blacksquare$
Метод «розкрити і порівняти»
Щоб довести рівність $A = B$: розкрити обидві частини, скоротити спільні доданки — і переконатися, що залишок збігається з умовою задачі.
Стратегія доведення. Замість того щоб «переходити від умови до висновку», зручніше перевірити, що рівність $2(a+b)(b+c) = (a+c)(a+2b+c)$ еквівалентна умові $2b^2=a^2+c^2$. Розкриваємо обидві частини, скорочуємо — і бачимо, що залишилась саме умова задачі.
16.34 і 16.35 разом означають: «$a^2$, $b^2$, $c^2$ — АП» $\Leftrightarrow$ «$\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ — АП». Це взаємно еквівалентні умови, і обидві вправи разом доводять цю еквівалентність.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.