Вправа 16.37 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.37. Розв'яжіть рівняння:
- $x^3 + x^2 - 3x - 3 = 0$;
- $(x^2 - 2x)^2 + 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$.
1) $x^3 + x^2 - 3x - 3 = 0$
Групуємо: $x^2(x + 1) - 3(x + 1) = 0$.
$(x + 1)(x^2 - 3) = 0$.
$x + 1 = 0$ або $x^2 - 3 = 0$.
$x = -1$ або $x = \pm\sqrt{3}$.
2) $(x^2 - 2x)^2 + 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$
Заміна: $t = x^2 - 2x$.
$t^2 + 2t - 3 = 0$; $(t + 3)(t - 1) = 0$.
$t = -3$ або $t = 1$.
При $t = -3$: $x^2 - 2x = -3$;
$x^2 - 2x + 3 = 0$;
$D = 4 - 12 = -8 < 0$ — коренів немає.
При $t = 1$: $x^2 - 2x = 1$;
$x^2 - 2x - 1 = 0$;
$D = 4 + 4 = 8$.
$x = 1 \pm \sqrt{2}$.
Метод групування (п.1)
$x^3+x^2-3x-3 = x^2(x+1)-3(x+1) = (x+1)(x^2-3)$.
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник нульовий.
Метод заміни змінної (п.2)
Якщо вираз $f(x)$ повторюється двічі — вводимо $t = f(x)$, розв'язуємо квадратне рівняння, потім «повертаємо» заміну.
$\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$; $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
П.1): де шукати «спільний множник»? Дивимося на пари: $(x^3+x^2)$ і $(-3x-3)$. З першої виносимо $x^2$, з другої $-3$ — обидва дають $(x+1)$. Якщо спільний множник є — метод групування спрацює.
П.2): $D=8=4\cdot2$, тому $\sqrt{D}=2\sqrt{2}$. $x = \frac{2\pm2\sqrt{2}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$. Перевірка: $(1+\sqrt{2})^2 - 2(1+\sqrt{2}) = 1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2} = 1$ ✓.
При $t=-3$ коренів немає. $D=-8<0$ — квадратний тричлен $x^2-2x+3$ не має дійсних коренів. Відповідно ця гілка «відмирає».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.