Вправа 16.41 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.41. Доведіть нерівність $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) + 1 \geqslant 0$.
Переставимо множники і згрупуємо «крайні»:
$(x-3)(x-6) \cdot (x-4)(x-5) + 1$.
$(x-3)(x-6) = x^2 - 9x + 18$.
$(x-4)(x-5) = x^2 - 9x + 20$.
Помітимо: обидва вирази містять $x^2 - 9x$. Введемо заміну $t = x^2 - 9x + 19$:
$(x^2-9x+18)(x^2-9x+20) = (t-1)(t+1) = t^2 - 1$.
Тоді весь вираз:
$(t^2 - 1) + 1 = t^2 \geqslant 0$ для будь-якого дійсного $t$. $\blacksquare$
Різниця квадратів і заміна змінної
$(t-1)(t+1) = t^2 - 1$.
Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний: $t^2 \geqslant 0$.
Стратегія доведення нерівності через повний квадрат
Якщо вдається звести вираз до вигляду $(\ldots)^2 + c \geqslant 0$ (де $c \geqslant 0$) — доведення завершено.
Хитрість: групуємо «крайні» та «внутрішні». $(x-3)(x-6)$ і $(x-4)(x-5)$ — пари з однаковою сумою $x$-коефіцієнтів: $-3+(-6)=-9$ і $-4+(-5)=-9$. Тому обидва добутки містять $x^2-9x$.
Замість $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$ можна було б спробувати $(x-3)(x-4)$ і $(x-5)(x-6)$. Але там $x$-суми різні ($-7$ і $-11$), заміна не виходить так красиво.
Рівність настає при $t=0$. $t = x^2-9x+19=0$ при $x = \frac{9\pm\sqrt{81-76}}{2} = \frac{9\pm\sqrt{5}}{2}$. Саме в цих точках $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+1=0$, тобто мінімум дорівнює нулю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.