Вправа 17.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 17.21. Скільки треба взяти перших членів арифметичної прогресії $4;\;6;\;8;\;\ldots$, щоб їх сума дорівнювала 270?

Розв'язання

$a_1 = 4$, $d = 2$. Прирівнюємо формулу суми до 270:

$S_n = \dfrac{2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n = $

$=\dfrac{2(n+3)}{2} \cdot n = n(n+3) = 270$.

$n^2 + 3n - 270 = 0$.

$D = 9 + 1080 = 1089 = 33^2$.

$n = \dfrac{-3 + 33}{2} = 15$; $n = \dfrac{-3 - 33}{2} = -18$ — не підходить.

$n = 15$.

Відповідь

15 членів.

Знаходження $n$ за заданою сумою

Прирівнюємо $S_n = C$, отримуємо квадратне рівняння відносно $n$.

Відбираємо натуральний корінь.

Дискримінант

$n^2+3n-270=0$: $D=9+1080=1089$; $\sqrt{1089}=33$.

Спрощення формули суми. $S_n = \frac{2\cdot4+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n = \frac{8+2n-2}{2}\cdot n = \frac{2n+6}{2}\cdot n=(n+3)\cdot n$. Рівняння $n(n+3)=270$ — аналог суми двох послідовних чисел.

$n=-18$ не підходить: номер члена — натуральне число. Єдина відповідь — $n=15$.

Перевірка. $a_{15}=4+14\cdot2=32$. $S_{15}=\frac{4+32}{2}\cdot15=18\cdot15=270$ ✓.