Вправа 17.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.25. Розв'яжіть рівняння:
- $6 + 10 + 14 + \ldots + (4x - 2) = 448$;
- $33 + 30 + 27 + \ldots + x = 195$.
1) $6 + 10 + 14 + \ldots + (4x - 2) = 448$
$a_1 = 6$, $\; d = 4$, $\; a_n = 4x - 2$.
$4x - 2 = 6 + (n - 1) \cdot 4$.
$n = x - 1$.
$\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = 448$:
$\dfrac{(x-1)(4x + 4)}{2} = 448$.
$(x - 1)(4x + 4) = 896$.
$4(x - 1)(x + 1) = 896$.
$(x - 1)(x + 1) = 224$.
$x^2 - 1 = 224$.
$x^2 = 225$.
$x = \pm 15$.
$x = -15$: $n = -16 < 0$ — не підходить.
2) $33 + 30 + 27 + \ldots + x = 195$
$a_1 = 33$, $\; d = -3$, $\; a_n = x$.
$x = 33 + (n-1)(-3) = 36 - 3n$.
$n = \dfrac{36 - x}{3}$.
$\dfrac{n(33 + x)}{2} = 195$:
$\dfrac{36 - x}{3} \cdot \dfrac{33 + x}{2} = 195$.
$(36 - x)(33 + x) = 1170$.
$1188 + 3x - x^2 = 1170$.
$x^2 - 3x - 18 = 0$.
$(x - 6)(x + 3) = 0$.
$x_1 = 6$, $\; x_2 = -3$.
$x = 6$: $n = 10 \in \mathbb{N}$ ✓; $x = -3$: $n = 13 \in \mathbb{N}$ ✓.
Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії
$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ або $S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
Формула $n$-го члена
$a_n = a_1 + (n-1)d$, звідки $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$.
Відбір коренів
Після розв'язання рівняння перевіряємо: $n$ має бути натуральним числом. Якщо $n \leqslant 0$ або $n \notin \mathbb{N}$ — корінь не підходить.
Звідки $4(x-1)(x+1)$ в (1)? $(x-1)(4x+4) = (x-1) \cdot 4(x+1)$. Далі $(x-1)(x+1) = x^2-1$ — різниця квадратів. Це швидше, ніж розкривати скобки «в лоб».
Чому в (1) відкидаємо $x = -15$? Кількість членів $n = x - 1 = -16 < 0$. Від'ємна кількість членів — безглуздо.
Чому в (2) два розв'язки? Прогресія 33, 30, …, 6, 3, 0, −3 є спадною і продовжується в від'ємну область. $x = 6 = a_{10}$ і $x = -3 = a_{13}$ — обидва є членами цієї прогресії, при обох $n$ натуральне.
Розкладання в (2). $x^2 - 3x - 18 = 0$: потрібні числа з добутком $-18$ і сумою $-3$. Це $-6$ і $3$. Тому $(x - 6)(x + 3) = 0$.
Часті помилки. 1) В (1) прийняти обидва значення $\pm 15$ без перевірки знаку $n$. 2) В (2) знайти лише один корінь. 3) Не перевірити натуральність $n$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.