Вправа 17.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.27. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$, якщо $a_1 + a_5 = 16$, $\; a_3 a_4 = 88$.
$a_1 + a_5 = a_1 + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 4d = 16$.
$a_1 + 2d = 8$.
$a_3 = a_1 + 2d = 8$.
$a_4 = a_3 + d = 8 + d$.
$a_3 \cdot a_4 = 88$:
$8(8 + d) = 88$.
$8 + d = 11$.
$d = 3$.
$a_1 = 8 - 2 \cdot 3 = 2$.
$S_{20} = \dfrac{20(2a_1 + 19d)}{2} = 10(4 + 57) = 10 \cdot 61 = \mathbf{610}$.
Формула $n$-го члена
$a_n = a_1 + (n-1)d$.
Сума $n$ перших членів
$S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
Симетричні члени прогресії
$a_k + a_l = a_p + a_s$ при $k + l = p + s$.
Наслідок: $a_1 + a_5 = 2a_3$ (бо $1 + 5 = 2 + 4 = 2 \cdot 3$).
Ключ задачі — побачити $a_3$. З $2a_1 + 4d = 16$ ділимо на $2$: $a_1 + 2d = 8$. Але $a_3 = a_1 + 2d$ за формулою $n$-го члена. Отже, умова $a_1 + a_5 = 16$ одразу дає $a_3 = 8$ — без системи двох рівнянь.
Загальний принцип. $a_1 + a_5 = 2a_3$, бо $1 + 5 = 2 \cdot 3$. Будь-яка пара симетричних членів прогресії в сумі дає подвоєний середній: $a_k + a_{k+2m} = 2a_{k+m}$.
Формула суми в кінці. $S_{20} = \dfrac{20(2 \cdot 2 + 19 \cdot 3)}{2} = 10 \cdot (4 + 57) = 10 \cdot 61 = 610$. Або через $a_{20}$: $a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59$, $S_{20} = \dfrac{20(2 + 59)}{2} = 10 \cdot 61 = 610$. Обидва способи рівнозначні.
Перевірка. $a_1 = 2$, $d = 3$: прогресія $2, 5, 8, 11, \ldots$. $a_1 + a_5 = 2 + 14 = 16$ ✓. $a_3 \cdot a_4 = 8 \cdot 11 = 88$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.