Вправа 17.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.28. З пункту $A$ виїхала вантажівка, яка рухалася зі швидкістю 40 км/год. Одночасно в тому самому напрямку з пункту $B$ вирушив легковик, який за першу годину проїхав 50 км, а кожної наступної години долав на 5 км більше, ніж за попередню. Через скільки годин легковик наздожене вантажівку, якщо відстань між пунктами $A$ і $B$ дорівнює 135 км?
Нехай $n$ год — час, через який легковик наздожене вантажівку.
Шлях вантажівки за $n$ год від $A$: $40n$ км.
Шлях легковика за $n$ год від $B$ — сума арифметичної прогресії з $a_1 = 50$, $d = 5$:
$S_n = \dfrac{n(2 \cdot 50 + (n-1) \cdot 5)}{2} = \dfrac{n(5n + 95)}{2}$.
Легковик наздогнав вантажівку, коли його шлях від $B$ дорівнює шляху вантажівки від $A$ плюс відстань $AB$:
$\dfrac{n(5n + 95)}{2} = 40n + 135$.
$5n^2 + 95n = 80n + 270$.
$5n^2 + 15n - 270 = 0$.
$n^2 + 3n - 54 = 0$.
$(n + 9)(n - 6) = 0$.
$n = 6$ ($n = -9$ не підходить).
Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії
$S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
Шлях із змінною швидкістю, що щогодини зростає на $d$ км — це сума прогресії.
Умова наздоганяння
Якщо об'єкт 1 стартує з точки $B$, а об'єкт 2 — з точки $A$ (на 135 км попереду) в тому самому напрямку, то наздоганяння настає, коли:
$S_n^{\,\text{легк.}} = S_n^{\,\text{вант.}} + 135$.
Чому права частина $40n + 135$, а не $40n - 135$? Вантажівка стартує з $A$, яке попереду по ходу руху. Легковику треба спочатку «покрити» відстань $AB = 135$ км, а потім ще дістати вантажівку, яка за $n$ год проїде $40n$ км від $A$. Тому $S_n^{\text{легк.}} = 135 + 40n$.
Чому шлях легковика — сума прогресії? За 1-у год: 50 км, за 2-у: 55, за 3-ю: 60 і т.д. — арифметична прогресія з $a_1 = 50$, $d = 5$. Сума перших $n$ її членів — загальний шлях за $n$ годин.
Перевірка. $n = 6$: легковик $50+55+60+65+70+75 = 375$ км від $B$. Вантажівка $40 \cdot 6 = 240$ км від $A$. $135 + 240 = 375$ ✓.
Часті помилки. 1) Написати $S_n = 40n - 135$ (переплутати, хто попереду). 2) Розв'язати лінійне рівняння, забувши, що $S_n$ квадратична за $n$. 3) Прийняти $n = -9$ без перевірки.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.