Вправа 17.31 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 17.31. Розв'яжіть нерівність $6x - 40 > (3x - 8)(3x + 8)$.

Розв'язання

$6x - 40 > 9x^2 - 64$.

$9x^2 - 6x - 24 < 0$.

$3x^2 - 2x - 8 < 0$.

$3x^2 - 2x - 8 = 0$:

$D = 4 + 96 = 100$.

$x = \dfrac{2 \pm 10}{6}$.

$x_1 = -\dfrac{4}{3}$, $\; x_2 = 2$.

$a = 3 > 0$ — гілки вгору, парабола від'ємна між нулями.

Відповідь

$x \in \left(-\dfrac{4}{3};\, 2\right)$.

Різниця квадратів

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Квадратна нерівність ($a > 0$, два нулі $x_1 < x_2$)

$ax^2 + bx + c < 0$ ⇒ $x \in (x_1;\, x_2)$.

$ax^2 + bx + c > 0$ ⇒ $x \in (-\infty;\, x_1) \cup (x_2;\, +\infty)$.

Дискримінант

$D = b^2 - 4ac$, $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Звідки $9x^2 - 64$? $(3x - 8)(3x + 8)$ — різниця квадратів: $(3x)^2 - 8^2 = 9x^2 - 64$. Без розкривання дужок «в лоб».

Чому нерівність перевертається. З $6x - 40 > 9x^2 - 64$ переносимо все вліво: $6x - 40 - 9x^2 + 64 > 0$, тобто $-9x^2 + 6x + 24 > 0$. Множимо на $-1$ (знак змінюємо): $9x^2 - 6x - 24 < 0$. Ділення на $3 > 0$ знак зберігає.

Читаємо графік. Парабола $y = 3x^2 - 2x - 8$ відкрита вгору. Вона від'ємна там, де нижче осі $x$ — між коренями $-\tfrac{4}{3}$ і $2$. Строга нерівність — круглі дужки.

Перевірка. $x = 0 \in (-\tfrac{4}{3};\, 2)$: $3 \cdot 0 - 0 - 8 = -8 < 0$ ✓. $x = 3 \notin (-\tfrac{4}{3};\, 2)$: $27 - 6 - 8 = 13 > 0$ ✓.