Вправа 17.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.32. Розв'яжіть рівняння $(2x^2 - 1)(x^2 + 3) = x^2(x^2 + 7)$.
$2x^4 + 5x^2 - 3 = x^4 + 7x^2$.
$x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.
Нехай $t = x^2$, $\; t \geqslant 0$:
$t^2 - 2t - 3 = 0$.
$(t - 3)(t + 1) = 0$.
$t_1 = 3$, $\; t_2 = -1$.
$t_2 = -1 < 0$ — не підходить.
$x^2 = 3$.
$x = \pm\sqrt{3}$.
Біквадратне рівняння
Рівняння виду $x^4 + px^2 + q = 0$ розв'язують заміною $t = x^2$, $t \geqslant 0$:
$t^2 + pt + q = 0$.
Після знаходження коренів $t_1$, $t_2$: якщо $t < 0$ — відкидається; якщо $t \geqslant 0$ — $x = \pm\sqrt{t}$.
Розкладання на множники
$t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)$: числа з добутком $-3$ і сумою $-2$ — це $-3$ і $1$.
Як розкрити ліву частину. $(2x^2 - 1)(x^2 + 3) = 2x^4 + 6x^2 - x^2 - 3 = 2x^4 + 5x^2 - 3$. Права: $x^2(x^2 + 7) = x^4 + 7x^2$. Переносимо все вліво — $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.
Чому $t_2 = -1$ не підходить. $t = x^2 \geqslant 0$ завжди. Від'ємне значення $t$ не може бути квадратом дійсного числа.
Чому два корені, а не один. $x^2 = 3$ — рівняння, яке має два розв'язки: $x = \sqrt{3}$ і $x = -\sqrt{3}$. Перевірка: $(-\sqrt{3})^2 = 3$ ✓.
Перевірка для $x = \sqrt{3}$. Ліва: $(2 \cdot 3 - 1)(3 + 3) = 5 \cdot 6 = 30$. Права: $3(3 + 7) = 3 \cdot 10 = 30$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.