Вправа 17.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.34. До електромережі підключено прилади, загальний опір яких становить $R_1 = 90$ Ом. Паралельно з ними передбачено підключити ще й електрообігрівач. Визначте найменш можливий опір $R_2$ цього електрообігрівача, якщо відомо, що при паралельному з'єднанні двох провідників з опорами $R_1$ Ом і $R_2$ Ом їхній загальний опір обчислюють за формулою $R_{\text{заг}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$, а для нормального функціонування електромережі її загальний опір має бути не менше, ніж $9$ Ом.
$R_{\text{заг}} \geqslant 9$, $\; R_2 > 0$:
$\dfrac{90 R_2}{90 + R_2} \geqslant 9$.
$R_2 > 0 \Rightarrow 90 + R_2 > 0$, тому множимо обидві частини на $(90 + R_2)$ без зміни знаку:
$90 R_2 \geqslant 9(90 + R_2)$.
$90 R_2 \geqslant 810 + 9R_2$.
$81 R_2 \geqslant 810$.
$R_2 \geqslant 10$.
Перевірка: $R_{\text{заг}} = \dfrac{90 \cdot 10}{90 + 10} = \dfrac{900}{100} = 9$ Ом ✓.
Множення нерівності на позитивний вираз
Якщо $A > 0$, то $\dfrac{f}{A} \geqslant c \;\Leftrightarrow\; f \geqslant cA$.
Знак нерівності зберігається.
Фізичний зміст обмеження
Опір — фізична величина: $R_2 > 0$. Ця умова автоматично гарантує знаменник $90 + R_2 > 0$, що дозволяє множити нерівність без зміни знаку.
Чому можна одразу множити на $(90 + R_2)$? У загальному випадку при множенні нерівності на вираз зі змінною потрібно розглядати два випадки: вираз додатний або від'ємний. Але тут $R_2 > 0$ за фізичним змістом задачі, тому $90 + R_2 > 90 > 0$ завжди — один випадок.
Інтуїція результату. Чим менший $R_2$, тим менший загальний опір паралельного з'єднання (короткозамикаючий ефект). Щоб $R_{\text{заг}}$ не впав нижче $9$ Ом, $R_2$ не може бути меншим за $10$ Ом.
Перевірка крайнього значення. $R_2 = 10$: $\dfrac{90 \cdot 10}{100} = 9$ — рівно межа ✓. $R_2 = 5$: $\dfrac{90 \cdot 5}{95} \approx 4{,}7 < 9$ — мережа не функціонує нормально ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.