Вправа 17.37 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17.37. (Задача Стенфордського університету.) Знайдіть усі значення $m$, за яких рівняння $x^4 - (3m + 2)x^2 + m^2 = 0$ має чотири корені, які є послідовними членами арифметичної прогресії.
Нехай чотири послідовних члени АП: $-3d,\; -d,\; d,\; 3d$ ($d \neq 0$).
За формулою Вієта сума попарних добутків коренів $= -(3m+2)$:
$(-3d)(-d) + (-3d)(d) + $
$ +(-3d)(3d) + (-d)(d) +$
$+ (-d)(3d) + (d)(3d) = -(3m+2)$.
$3d^2 - 3d^2 - 9d^2 - $
$-d^2 - 3d^2 + 3d^2 = -(3m+2)$.
$-10d^2 = -(3m+2)$.
$3m + 2 = 10d^2$. (1)
За формулою Вієта добуток усіх коренів $= m^2$:
$(-3d)(-d)(d)(3d) = m^2$.
$9d^4 = m^2$.
$m = \pm 3d^2$. (2)
Випадок 1: $m = 3d^2$
Підставляємо в (1):
$3(3d^2) + 2 = 10d^2$.
$9d^2 + 2 = 10d^2$.
$d^2 = 2$.
$m = 3 \cdot 2 = 6$.
Корені: $\pm\sqrt{2}$, $\pm 3\sqrt{2}$ — АП із різницею $2\sqrt{2}$ ✓.
Випадок 2: $m = -3d^2$
Підставляємо в (1):
$3(-3d^2) + 2 = 10d^2$.
$-9d^2 + 2 = 10d^2$.
$19d^2 = 2$.
$d^2 = \dfrac{2}{19}$.
$m = -3 \cdot \dfrac{2}{19} = -\dfrac{6}{19}$.
Корені дійсні ($d^2 > 0$), утворюють АП ✓.
Формули Вієта для $x^4 + px^2 + q = 0$ (коефіцієнти при $x^3$ і $x$ нульові)
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$.
$\sum_{i < j} x_i x_j = p$ (сума попарних добутків).
$x_1 x_2 x_3 x_4 = q$.
Симетричний запис АП із чотирьох членів
$a - 3d,\; a - d,\; a + d,\; a + 3d$.
Сума $= 4a$. Якщо сума $= 0$, то $a = 0$, і члени $-3d,\; -d,\; d,\; 3d$.
Чому $a = 0$? Коефіцієнт при $x^3$ у рівнянні нульовий, тому за Вієтом $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$. Для АП сума чотирьох послідовних членів — $4a$. Звідси $a = 0$, і прогресія симетрична відносно нуля.
Звідки $9d^4 = m^2$? $(-3d)(-d)(d)(3d) = 9d^2 \cdot d^2 = 9d^4$. Це дорівнює вільному члену рівняння $m^2$, тому $m = \pm 3d^2$ — обидва знаки потрібно перевірити.
Перевірка $m = 6$. Рівняння $x^4 - 20x^2 + 36 = 0$. Заміна $t = x^2$: $t^2 - 20t + 36 = 0$; $t_1 = 18$, $t_2 = 2$. Корені: $\pm 3\sqrt{2} \approx \pm 4{,}24$ і $\pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41$. Різниця $\approx 2{,}83 = 2\sqrt{2}$ — АП ✓.
Перевірка $m = -\tfrac{6}{19}$. Корені $\pm 3d$ і $\pm d$ з $d = \sqrt{\tfrac{2}{19}}$. Чотири різних дійсних корені, різниця між сусідніми — $2d$ — АП ✓.
Чому не можна обрати лише один знак для $m$. Умова $9d^4 = m^2$ дає два варіанти. Обидва призводять до різних значень $d^2 > 0$, тобто обидва дають чотири дійсних кореня й реальну АП.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.