Вправа 18.1 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 18.1. Які з послідовностей є геометричними прогресіями? Укажіть для них перший член і знаменник.

$3;\; 6;\; 12$;
$7;\; 7;\; 7$;
$1;\; 2;\; 3$;
$8;\; -8;\; 8$;
$9;\; 3;\; 1$;
$2;\; 4;\; 6$.

Розв'язання

1) $3;\; 6;\; 12$

$\dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} = 2$ — відношення постійне.

$b_1 = 3$, $\; q = 2$.

2) $7;\; 7;\; 7$

$\dfrac{7}{7} = \dfrac{7}{7} = 1$ — відношення постійне.

$b_1 = 7$, $\; q = 1$.

3) $1;\; 2;\; 3$

$\dfrac{2}{1} = 2 \neq \dfrac{3}{2}$ — відношення непостійне, не є ГП.

4) $8;\; -8;\; 8$

$\dfrac{-8}{8} = \dfrac{8}{-8} = -1$ — відношення постійне.

$b_1 = 8$, $\; q = -1$.

5) $9;\; 3;\; 1$

$\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$, $\; \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ — відношення постійне.

$b_1 = 9$, $\; q = \dfrac{1}{3}$.

6) $2;\; 4;\; 6$

$\dfrac{4}{2} = 2 \neq \dfrac{6}{4}$ — відношення непостійне, не є ГП.

Відповідь

ГП: 1) $b_1=3$, $q=2$; 2) $b_1=7$, $q=1$; 4) $b_1=8$, $q=-1$; 5) $b_1=9$, $q=\tfrac{1}{3}$.

Геометрична прогресія

Послідовність $(b_n)$, де $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ і кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на $q$: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Ознака геометричної прогресії

Послідовність є ГП тоді і тільки тоді, коли відношення $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ є постійним і ненульовим для всіх $n$.

$q = 1$ — теж геометрична прогресія. Послідовність $7;\,7;\,7;\,\ldots$ — ГП зі знаменником $1$. Всі члени однакові; це вироджений, але допустимий випадок.

$q = -1$ — знакозмінна ГП. Послідовність $8;\,-8;\,8;\,-8;\,\ldots$ — знак чергується, але відношення постійне: $-1$.

Як не переплутати ГП і АП. Послідовності 3) і 6) — арифметичні (різниця постійна), але не геометричні (відношення непостійне). Завжди перевіряємо ВІДНОШЕННЯ, не різницю.

Перевірки достатньо на двох парах. Якщо в умові три члени — перевіряємо два відношення: $b_2/b_1$ і $b_3/b_2$. Якщо рівні — ГП.