Вправа 18.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.17. Доведіть, що послідовність $(x_n)$, задана формулою $x_n = 3 \cdot 4^n$, є геометричною прогресією. Знайдіть її перший член і знаменник.
Знайдемо відношення $(n+1)$-го члена до $n$-го:
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{3 \cdot 4^{n+1}}{3 \cdot 4^{n}}$.
$= \dfrac{4^{n+1}}{4^{n}} = 4^{(n+1)-n} = 4$.
Відношення $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = 4$ постійне і ненульове для всіх $n \geqslant 1$, тому $(x_n)$ є геометричною прогресією з знаменником $q = 4$.
$x_1 = 3 \cdot 4^1 = 12$.
Означення геометричної прогресії
Послідовність $(b_n)$ є ГП тоді і тільки тоді, коли $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q = \mathrm{const} \neq 0$ для всіх $n \geqslant 1$.
Ділення степенів
$\dfrac{a^{n+1}}{a^n} = a^{(n+1)-n} = a^1 = a$.
Структура доведення. Щоб довести, що послідовність є ГП, достатньо показати, що відношення сусідніх членів постійне. Обчислюємо $x_{n+1}/x_n$, спрощуємо — якщо результат константа (не залежить від $n$) — послідовність є ГП.
Загальний вигляд $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Формула $x_n = 3 \cdot 4^n = 3 \cdot 4 \cdot 4^{n-1} = 12 \cdot 4^{n-1}$ — стандартний вигляд ГП з $b_1 = 12$, $q = 4$. Тобто факт «є ГП» видно одразу з такого запису.
Часта помилка. Прийняти $x_1 = 3 \cdot 4^0 = 3$ — це невірно: у формулі $x_n = 3 \cdot 4^n$ показник степеня дорівнює $n$, а не $n-1$. Тому $x_1 = 3 \cdot 4^1 = 12$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.