Вправа 18.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.18. Знайдіть знаменник геометричної прогресії $(b_n)$, у якої:
- $b_7 = 12$, $b_9 = 48$;
- $b_8 = 9$, $b_{11} = 243$;
- $b_{16} = 16$, $b_{18} = 9$;
- $b_{30} = 1$, $b_{33} = -1$.
Скористаємося наслідком із формули $n$-го члена: $\dfrac{b_m}{b_k} = q^{\,m-k}$.
1) $b_7 = 12$, $b_9 = 48$
$q^{\,9-7} = \dfrac{b_9}{b_7}$; $q^2 = \dfrac{48}{12} = 4$; $q = \pm 2$.
2) $b_8 = 9$, $b_{11} = 243$
$q^{\,11-8} = \dfrac{b_{11}}{b_8}$; $q^3 = \dfrac{243}{9} = 27$; $q = 3$.
3) $b_{16} = 16$, $b_{18} = 9$
$q^{\,18-16} = \dfrac{b_{18}}{b_{16}}$; $q^2 = \dfrac{9}{16}$; $q = \pm \dfrac{3}{4}$.
4) $b_{30} = 1$, $b_{33} = -1$
$q^{\,33-30} = \dfrac{b_{33}}{b_{30}}$; $q^3 = -1$; $q = -1$.
Геометрична прогресія
Послідовність $(b_n)$, у якій $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ і $b_{n+1} = b_n \cdot q$ для всіх $n \geqslant 1$. Число $q$ — знаменник прогресії.
Формула $n$-го члена
$b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$.
Знаменник через два члени
Через сусідні: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.
Через довільні: $\dfrac{b_m}{b_k} = q^{\,m-k}$ (саме це використано у вправі).
Парна / непарна степінь
$q^{\,2k} = a$ ⇒ $q = \pm \sqrt[2k]{a}$ (два значення, якщо $a > 0$).
$q^{\,2k+1} = a$ ⇒ $q = \sqrt[2k+1]{a}$ (одне значення, знак як у $a$).
Характеристична властивість
$b_n^{\,2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для всіх $n \geqslant 2$ (квадрат середнього члена дорівнює добутку сусідніх).
Узагальнення: $b_k \cdot b_l = b_p \cdot b_s$ при $k + l = p + s$.
Звідки береться формула $\dfrac{b_m}{b_k} = q^{\,m-k}$? За формулою $n$-го члена $b_m = b_1 q^{\,m-1}$ і $b_k = b_1 q^{\,k-1}$. При діленні $b_1$ скорочується, степені віднімаються: $q^{\,(m-1)-(k-1)} = q^{\,m-k}$. Це позбавляє від необхідності спочатку шукати $b_1$.
Чому в (1) і (3) дві відповіді, а в (2) і (4) — одна? У (1) та (3) знаменник входить у парній степені ($q^2$), і рівняння $q^2 = a$ має два корені — додатний і від'ємний. У (2) та (4) степінь непарна ($q^3$), і рівняння $q^3 = a$ має лише один дійсний корінь, чий знак збігається зі знаком $a$.
Перевірка пункту (3): $q = \dfrac{3}{4}$ дає прогресію $\dots, 16, 12, 9, \dots$ (множимо на $\dfrac{3}{4}$). $q = -\dfrac{3}{4}$ дає $\dots, 16, -12, 9, \dots$. Обидві — правильні геометричні прогресії.
Інший спосіб — через систему. Можна було записати $b_7 = b_1 q^6 = 12$ і $b_9 = b_1 q^8 = 48$, поділити друге на перше — отримуємо те саме $q^2 = 4$. Шлях довший, ніж через $\dfrac{b_m}{b_k} = q^{\,m-k}$, але корисний, коли потрібно знайти і $b_1$.
Часті помилки. 1) В пункті (1) написати тільки $q = 2$, забувши про від'ємний корінь. 2) В пункті (4) написати $q = \pm 1$ — це невірно, бо $1^3 = 1 \neq -1$. 3) Плутати $q^{\,m-k}$ та $q^{\,m+k}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.