Вправа 18.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.32. Доведіть, що коли числа $a$, $b$ і $c$ є послідовними членами геометричної прогресії, то справджується рівність:
$(a + b + c)(a - b + c) = a^2 + b^2 + c^2$.
Оскільки $a$, $b$, $c$ — послідовні члени ГП, то $b^2 = ac$.
Перетворимо ліву частину, згрупувавши $a + c$:
$(a + b + c)(a - b + c) = \bigl((a + c) + b\bigr)\bigl((a + c) - b\bigr)$.
$= (a + c)^2 - b^2$.
$= a^2 + 2ac + c^2 - b^2$.
$= a^2 + 2b^2 + c^2 - b^2$.
$= a^2 + b^2 + c^2$. $\square$
Характеристична властивість ГП
$a$, $b$, $c$ — ГП $\;\Rightarrow\; b^2 = ac$.
Різниця квадратів
$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.
Тут $A = a + c$, $B = b$.
Ключ — побачити різницю квадратів. Замість того, щоб розкривати добуток «в лоб» ($4$ доданки), ми помічаємо, що лівий множник — це $(a+c)+b$, а правий — $(a+c)-b$. Це стандартна форма $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$.
Де використовуємо властивість ГП. Лише в одному кроці: $2ac = 2b^2$ (оскільки $ac = b^2$). Без цього тотожність не справджується для довільних $a, b, c$.
Перевірка на прикладі. $a = 1$, $b = 2$, $c = 4$ (ГП з $q=2$): ліва: $(1+2+4)(1-2+4) = 7 \cdot 3 = 21$. Права: $1 + 4 + 16 = 21$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.