Вправа 18.33 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.33. Для деяких чисел $x$, $y$, $z$, жодне з яких не дорівнює нулю, справджується рівність:
$(x^2 + y^2)(y^2 + z^2) = (xy + yz)^2$.
Доведіть, що $x$, $y$, $z$ — послідовні члени геометричної прогресії.
Перенесемо праву частину вліво:
$(x^2 + y^2)(y^2 + z^2) - (xy + yz)^2 = 0$.
Розкриємо дужки:
$x^2y^2 + x^2z^2 + y^4 + y^2z^2 - x^2y^2 - 2xy^2z - y^2z^2 = 0$.
$x^2z^2 - 2xy^2z + y^4 = 0$.
$(xz - y^2)^2 = 0$.
$y^2 = xz$.
Оскільки $x \neq 0$, $y \neq 0$, $z \neq 0$ і $y^2 = xz$, числа $x$, $y$, $z$ є послідовними членами геометричної прогресії. $\square$
Характеристична властивість ГП
$x$, $y$, $z$ є послідовними членами ГП $\;\Leftrightarrow\; y^2 = xz$ (при $x, y, z \neq 0$).
Повний квадрат
$x^2z^2 - 2xy^2z + y^4 = (xz - y^2)^2$.
Стратегія доведення. Щоб довести, що $x, y, z$ — ГП, досить показати $y^2 = xz$. З умови рівності перетворюємо вираз до нуля і фактуруємо — виходить $(xz - y^2)^2 = 0$, що дає $y^2 = xz$.
Спрощення $(xy + yz)^2$. $(xy + yz)^2 = y^2(x+z)^2 = y^2(x^2 + 2xz + z^2)$. Розкривши і зібравши подібні, отримуємо $x^2y^2$ і $y^2z^2$ скорочуються, а залишається $(xz - y^2)^2$.
Чому умова $x,y,z \neq 0$ важлива. Для ГП потрібно, щоб усі члени були ненульовими. Якщо б один із них дорівнював нулю, $y^2 = xz$ ще виконувалось би ($0 = 0$), але прогресія не існувала б (знаменник $q = y/x$ або $z/y$ не визначений).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.