Вправа 18.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.34. Дано квадрат зі стороною $16$ см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, а середини сторін другого квадрата є вершинами третього і так само далі. Знайдіть площу шостого квадрата, побудованого в такий спосіб.
Якщо сторона квадрата $a$, то сторона вписаного квадрата (з вершинами в серединах) дорівнює $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ (за теоремою Піфагора).
Площа вписаного квадрата: $\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$.
Отже, площі утворюють геометричну прогресію з $q = \dfrac{1}{2}$.
$S_1 = 16^2 = 256$ см².
$S_6 = S_1 \cdot q^5 = 256 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{256}{32} = 8$ см².
Сторона вписаного квадрата
Якщо вершини квадрата — середини сторін квадрата зі стороною $a$, то його сторона $= \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Формула $n$-го члена ГП
$S_n = S_1 \cdot q^{\,n-1}$, де $q = \dfrac{1}{2}$.
Звідки $q = 1/2$ для площ. Сторона зменшується у $\sqrt{2}$ разів, тому площа ($= $ сторона²) зменшується у $(\sqrt{2})^2 = 2$ рази. Простіше думати одразу про площі: кожен наступний квадрат займає половину площі попереднього.
Перевірка. $S_1 = 256$, $S_2 = 128$, $S_3 = 64$, $S_4 = 32$, $S_5 = 16$, $S_6 = 8$ ✓.
Геометричний зміст. Діагональ вписаного квадрата дорівнює стороні зовнішнього: $d_2 = a_1$. Площа квадрата через діагональ: $S = d^2/2$. Тому $S_2 = a_1^2/2 = S_1/2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.