Вправа 18.36 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.36. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії $(a_n)$, якщо:
- $a_2 + a_4 = 14$, $\; a_6 + a_9 = 32$;
- $a_2 + a_6 = 4$, $\; a_3 \cdot a_4 = 6$.
1) $a_2 + a_4 = 14$, $\; a_6 + a_9 = 32$
$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 14, \\ (a_1 + 5d) + (a_1 + 8d) = 32. \end{cases}$
$\begin{cases} 2a_1 + 4d = 14, \\ 2a_1 + 13d = 32. \end{cases}$
Віднімемо перше від другого:
$9d = 18$.
$d = 2$.
$2a_1 = 14 - 8 = 6$.
$a_1 = 3$.
2) $a_2 + a_6 = 4$, $\; a_3 \cdot a_4 = 6$
$a_2 + a_6 = 2a_1 + 6d = 4 \;\Rightarrow\; a_1 + 3d = 2$.
Звідси $a_4 = a_1 + 3d = 2$.
$a_3 \cdot a_4 = a_3 \cdot 2 = 6 \;\Rightarrow\; a_3 = 3$.
$a_4 - a_3 = d \;\Rightarrow\; d = 2 - 3 = -1$.
$a_1 = a_4 - 3d = 2 - 3 \cdot (-1) = 5$.
Формула $n$-го члена АП
$a_n = a_1 + (n-1)d$.
Симетричні суми
$a_2 + a_6 = 2a_4$ (бо $2 + 6 = 2 \cdot 4$).
Тому $a_2 + a_6 = 4 \;\Rightarrow\; a_4 = 2$.
П. 1) — класична система. Два рівняння з двома невідомими. Зручно відняти перше від другого: $9d = 18$.
П. 2) — ключ через симетрію. $a_2 + a_6 = 2a_4$, тому з першої умови одразу $a_4 = 2$. Потім з $a_3 \cdot a_4 = 6$: $a_3 = 3$. Різниця $d = a_4 - a_3 = -1$.
Перевірка п. 2). $a_1=5$, $d=-1$: $5;\,4;\,3;\,2;\,1;\,0;\,\ldots$ $a_2 + a_6 = 4 + 0 = 4$ ✓. $a_3 \cdot a_4 = 3 \cdot 2 = 6$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.