Вправа 18.37 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.37. Доведіть, що значення виразу $\dfrac{a+3}{2a+2} - \dfrac{a+1}{2a-2} + \dfrac{2}{a^2-1}$ не залежить від значення змінної.
Область визначення: $a \neq \pm 1$. Зводимо до спільного знаменника $2(a+1)(a-1)$:
$\dfrac{a+3}{2(a+1)} - \dfrac{a+1}{2(a-1)} + \dfrac{2}{(a+1)(a-1)}$.
$= \dfrac{(a+3)(a-1) - (a+1)^2 + 4}{2(a+1)(a-1)}$.
Розкриємо чисельник:
$(a+3)(a-1) = a^2 + 2a - 3$.
$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$.
$(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 4 = -3 - 1 + 4 = 0$.
Вираз дорівнює $\dfrac{0}{2(a+1)(a-1)} = 0$ для всіх допустимих $a$. $\square$
Спільний знаменник раціональних дробів
$2a+2 = 2(a+1)$; $2a-2 = 2(a-1)$; $a^2-1 = (a+1)(a-1)$.
НСД: $2(a+1)(a-1)$.
Перевірка на конкретному значенні. $a = 2$: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{9}{6} + \dfrac{4}{6} = 0$ ✓.
Ключовий момент. Після зведення до спільного знаменника всі члени чисельника скорочуються: $a^2$, $2a$ і константи дають у сумі $0$. Вираз тотожно дорівнює нулю.
«Не залежить» означає константу. Довести, що вираз не залежить від змінної — означає показати, що він тотожно рівний певній сталій (тут $0$). Достатньо спростити до константи.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.