Вправа 18.38 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18.38. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $5x^2 + 7x - 9 = 0$. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть $x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1$.
За теоремою Вієта: $x_1 + x_2 = -\dfrac{7}{5}$, $\; x_1 x_2 = -\dfrac{9}{5}$.
$x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2)$.
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
$= \left(-\dfrac{7}{5}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\dfrac{9}{5}\right) = \dfrac{49}{25} + \dfrac{18}{5} = \dfrac{49}{25} + \dfrac{90}{25} = \dfrac{139}{25}$.
$x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = \left(-\dfrac{9}{5}\right) \cdot \dfrac{139}{25} = -\dfrac{1251}{125}$.
Теорема Вієта для $ax^2 + bx + c = 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Сума квадратів через елементарні симетричні многочлени
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Ключове перетворення. $x_1^3 x_2 + x_2^3 x_1 = x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2)$ — виносимо $x_1 x_2$ за дужки. Далі $x_1^2 + x_2^2$ виражаємо через $(x_1+x_2)^2$ і $x_1 x_2$, які відомі з Вієта.
Чому «не розв'язуючи»? Корені ірраціональні ($\sqrt{229}$), тому пряме обчислення громіздке. Теорема Вієта дає точну відповідь без знаходження коренів.
Перевірка. $x_1 x_2 \cdot (x_1^2 + x_2^2) = (-9/5)(139/25) = -1251/125 \approx -10{,}008$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.