Вправа 18.43 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 18.43. Про послідовність $(a_n)$ відомо, що $a_1 = 0$ , $a_{n+1} = a_n + n$ . Знайдіть формулу $n$ -го члена цієї послідовності.

Розв'язання

Запишемо рекурентне співвідношення для кількох кроків:

$a_n = a_{n-1} + (n-1)$ .

$a_{n-1} = a_{n-2} + (n-2)$ .

$\vdots$

$a_2 = a_1 + 1$ .

Складемо всі рівності:

$a_n = a_1 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)$ .

$a_n = 0 + \dfrac{(n-1) \cdot n}{2}$ .

$a_n = \dfrac{n(n-1)}{2}$ .

Перевірка: $a_1 = 0$ ✓; $a_2 = 1$ ✓; $a_3 = 3$ ✓; $a_4 = 6$ ✓; $a_5 = 10$ ✓.

Відповідь

a_n = \dfrac{n(n-1)}{2}

Сума перших $n$ натуральних чисел

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Тут сума від $1$ до $n-1$ : $\; 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \dfrac{(n-1)n}{2}$ .

Метод телескопічної суми

Якщо $a_{k} = a_{k-1} + f(k-1)$ , то складаємо $n-1$ рівнянь і додаємо: всі проміжні члени скорочуються, залишається $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$ .

Числа $0;\,1;\,3;\,6;\,10;\,15;\,\ldots$ — трикутні числа. $a_n = \dfrac{n(n-1)}{2}$ — кількість точок у трикутнику зі стороною $n-1$ . Наприклад, $a_5 = 10$ — це «боулінгові» кеглі у 4 рядах ( $1+2+3+4=10$ ).

Телескопічне складання. Коли кожне рівняння має форму «наступний = попередній + щось», досить записати ланцюжок від $a_2$ до $a_n$ і скласти — проміжні члени ( $a_2, a_3, \ldots, a_{n-1}$ ) скорочуються з обох частин.

Перевірка рекурентного співвідношення. $a_{n+1} = \dfrac{(n+1)n}{2}$ ; $a_n = \dfrac{n(n-1)}{2}$ ; різниця: $a_{n+1} - a_n = \dfrac{n(n+1) - n(n-1)}{2} = \dfrac{n \cdot 2}{2} = n$ ✓.