Вправа 18.6 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 18.6. $(y_n)$ — геометрична прогресія, $y_1 = 81$, $q = -\dfrac{1}{3}$. Знайдіть:

$y_2$;
$y_4$;
$y_7$;
$y_k$.

Розв'язання

$y_n = y_1 \cdot q^{\,n-1} = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$.

1) $y_2$

$y_2 = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -27$.

Відповідь

$y_2 = -27$.

2) $y_4$

$y_4 = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{27}\right) = -3$.

Відповідь

$y_4 = -3$.

3) $y_7$

$y_7 = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^6 = 81 \cdot \dfrac{1}{729} = \dfrac{1}{9}$.

Відповідь

$y_7 = \dfrac{1}{9}$.

4) $y_k$

$y_k = 81 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$.

$= 3^4 \cdot \dfrac{(-1)^{k-1}}{3^{k-1}}$.

$= (-1)^{k-1} \cdot 3^{4-(k-1)}$.

$= (-1)^{k-1} \cdot 3^{5-k}$.

Відповідь

$y_k = (-1)^{k-1} \cdot 3^{5-k}$.

Формула $n$-го члена ГП

$b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$.

Ділення степенів з однаковою основою

$\dfrac{3^4}{3^{k-1}} = 3^{4-(k-1)} = 3^{5-k}$.

Парна степінь від'ємного числа — додатна. $\left(-\tfrac{1}{3}\right)^6 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^6 = \tfrac{1}{729}$. Тому $y_7 > 0$, хоча знаменник від'ємний.

Загальний член через $(-1)^{k-1}$. Множник $(-1)^{k-1}$ відповідає за знак: непарний $k$ → «$+$», парний $k$ → «$-$». Множник $3^{5-k}$ відповідає за модуль.

Перевірка формули. $k=4$: $(-1)^3 \cdot 3^1 = -3$ ✓. $k=7$: $(-1)^6 \cdot 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ ✓.