Вправа 18.8 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 18.8. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

$b_5$, якщо $b_1 = 2$, $q = -1$;
$b_4$, якщо $b_1 = -128$, $q = \dfrac{1}{2}$;
$b_7$, якщо $b_1 = 64$, $q = -\dfrac{1}{4}$;
$b_3$, якщо $b_1 = 3$, $q = -\sqrt{2}$.

Розв'язання

1) $b_5$, $b_1 = 2$, $q = -1$

$b_5 = 2 \cdot (-1)^4 = 2 \cdot 1 = 2$.

Відповідь

$b_5 = 2$.

2) $b_4$, $b_1 = -128$, $q = \dfrac{1}{2}$

$b_4 = -128 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = -128 \cdot \dfrac{1}{8} = -16$.

Відповідь

$b_4 = -16$.

3) $b_7$, $b_1 = 64$, $q = -\dfrac{1}{4}$

$b_7 = 64 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)^6$.

$= \dfrac{64}{4^6}$.

$= \dfrac{4^3}{4^6}$.

$= \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$.

Відповідь

$b_7 = \dfrac{1}{64}$.

4) $b_3$, $b_1 = 3$, $q = -\sqrt{2}$

$b_3 = 3 \cdot (-\sqrt{2})^2$.

$= 3 \cdot 2 = 6$.

Відповідь

$b_3 = 6$.

Формула $n$-го члена ГП

$b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$.

Степінь від'ємного числа

$(-a)^{2k} = a^{2k}$ (парний показник — завжди «$+$»).

$(-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

П. 1) — ГП з $q = -1$. Члени чергуються: $2;\,-2;\,2;\,-2;\,2;\,\ldots$ — нескінченно. $b_5 = b_1 = 2$, бо показник 4 парний.

П. 3) — скорочення через степені. $64 = 4^3$, $4^6 = (4^3)^2 = 64^2 = 4096$. Тому $\dfrac{64}{4^6} = \dfrac{4^3}{4^6} = 4^{-3} = \dfrac{1}{64}$. Важливо: $(-1/4)^6 = (1/4)^6$ — мінус зникає, бо показник парний.

П. 4) — іраціональний знаменник спрощується. $(-\sqrt{2})^2 = 2$ — мінус і корінь зникають одночасно. Результат цілий.