Вправа 19.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 19.11. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{2y}{x} = 3. \end{cases}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Множимо друге рівняння на $xy$:
$x^2 + 2y^2 = 3xy$.
$x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$.
$(x - y)(x - 2y) = 0$.
$x = y$ або $x = 2y$.
Випадок $x = y$
$y^2 - y^2 = 12 \;\Rightarrow\; 0 = 12$ — протиріччя, розв'язків немає.
Випадок $x = 2y$
$(2y)^2 - y^2 = 12$.
$3y^2 = 12$.
$y^2 = 4$.
$y = \pm 2$.
$y = 2 \;\Rightarrow\; x = 4$; $y = -2 \;\Rightarrow\; x = -4$.
Розкладання квадратного тричлена
$x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y)$.
Знаходимо два множники: добуток $= 2y^2$, сума $= -3y$: це $(-y)$ і $(-2y)$.
Ключовий крок — позбавитись дробів. Множимо друге рівняння на $xy$ (при $x,y\neq 0$): отримуємо поліном $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$. Це однорідний поліном другого ступеня — ділимо на $y^2$ або розкладаємо на множники.
Перевірка $(4;\,2)$. $16 - 4 = 12$ ✓. $4/2 + 2 \cdot 2/4 = 2 + 1 = 3$ ✓.
Чому $x=y$ не дає розв'язків. При $x=y$ перше рівняння стає $0=12$, що суперечить умові.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.