Вправа 19.13 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 19.13. (Національна олімпіада Румунії, 1981 р.) Розв'яжіть рівняння $x^6 + 3x^3 + 1 = y^4$ у цілих числах.
Для $y^4$ необхідно, щоб $x^6 + 3x^3 + 1 \geqslant 0$.
Випадок $x = 0$
$0 + 0 + 1 = 1 = 1^4$. $y = \pm 1$ ✓.
Випадок $x > 0$
Порівняємо з квадратами сусідніх цілих:
$(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1$.
$(x^3 + 2)^2 = x^6 + 4x^3 + 4$.
$(x^3+1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1 < x^6 + 3x^3 + 1 < x^6 + 4x^3 + 4 = (x^3+2)^2$.
Ліва нерівність: $2x^3 < 3x^3$ ✓ при $x > 0$.
Права нерівність: $3x^3 + 1 < 4x^3 + 4$ ✓ при $x > 0$.
Отже, $x^6 + 3x^3 + 1$ строго між двома сусідніми точними квадратами — сам не є точним квадратом, тому не може бути $y^4 = (y^2)^2$. Розв'язків немає.
Випадок $x = -1$
$1 - 3 + 1 = -1 < 0$ — не може дорівнювати $y^4$.
Випадок $x \leqslant -2$
Нехай $x = -m$, $m \geqslant 2$. Тоді $x^6 + 3x^3 + 1 = m^6 - 3m^3 + 1$.
$(m^3 - 2)^2 = m^6 - 4m^3 + 4$.
$(m^3 - 1)^2 = m^6 - 2m^3 + 1$.
$(m^3-2)^2 < m^6 - 3m^3 + 1 < (m^3-1)^2$ при $m \geqslant 2$:
Ліва: $-4m^3 + 4 < -3m^3 + 1 \;\Leftrightarrow\; m^3 > 3$ ✓ при $m \geqslant 2$.
Права: $-3m^3 + 1 < -2m^3 + 1 \;\Leftrightarrow\; m^3 > 0$ ✓.
Знову $m^6 - 3m^3 + 1$ строго між квадратами — не є точним квадратом. Розв'язків немає.
Метод «затискання між квадратами»
Якщо ціле число $N$ задовольняє $k^2 < N < (k+1)^2$ для деякого цілого $k$, то $N$ не є точним квадратом. Оскільки $y^4 = (y^2)^2$ — точний квадрат, то й $y^4 \neq N$.
Ідея доведення. Для кожної групи значень $x$ показуємо, що $x^6+3x^3+1$ строго потрапляє між двома сусідніми точними квадратами — отже, сам квадратом не є, а тому й четвертим степенем.
Чому $y^4$ — це завжди точний квадрат? $y^4 = (y^2)^2$. Тому якщо $x^6+3x^3+1$ не є точним квадратом — рівняння не має розв'язків у цих $x$.
Перевірка малих значень (підтверджує загальне доведення). $x=1$: $1+3+1=5$ (між $4=2^2$ і $9=3^2$, не квадрат). $x=-2$: $64-24+1=41$ (між $36=6^2$ і $49=7^2$, не квадрат). $x=0$: $1=1^4$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.