Вправа 19.8 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 19.8. Населення міста становить $50\,000$ осіб і щороку зменшується на $1\%$. Якою буде кількість населення міста через:

$5$ років;
$10$ років?

Розв'язання

$A_n = 50\,000 \cdot 0{,}99^n$.

1) Через 5 років

$0{,}99^2 = 0{,}9801$.

$0{,}99^4 = 0{,}9801^2 = 0{,}96059601$.

$0{,}99^5 = 0{,}96059601 \cdot 0{,}99 \approx 0{,}950990$.

$A_5 = 50\,000 \cdot 0{,}950990 \approx 47\,550$ осіб.

Відповідь

$\approx 47\,550$ осіб.

2) Через 10 років

$0{,}99^{10} = (0{,}99^5)^2 \approx 0{,}950990^2 \approx 0{,}904382$.

$A_{10} = 50\,000 \cdot 0{,}904382 \approx 45\,219$ осіб.

Відповідь

$\approx 45\,219$ осіб.

Формула при щорічному спаданні на $p\%$

$A_n = A_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n = 50\,000 \cdot 0{,}99^n$.

Зручний прийом: $0{,}99^{10} = (0{,}99^5)^2$. Спочатку рахуємо $0{,}99^5$, потім зводимо в квадрат — вдвічі менше множень.

Порівняння з лінійним зменшенням. При $1\%$ на рік лінійно: $50\,000 \cdot (1 - 0{,}01 \cdot 10) = 50\,000 \cdot 0{,}9 = 45\,000$. Складне зменшення дає $45\,219$ — трохи більше, бо кожен наступний рік $1\%$ рахується від меншої бази.

Відповідь — ціле число. Кількість людей округлюємо до цілих.