Вправа 2.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.11. Відомо, що $2 < m < 10$. Оцініть значення виразу:
- $m + 1$;
- $m - 2$;
- $3m$;
- $\dfrac{m}{5}$;
- $-m$;
- $-7m$.
Застосовуємо до подвійної нерівності $2 < m < 10$ ту саму операцію, що й до виразу: при додаванні чи відніманні числа знаки зберігаються; при множенні чи діленні на додатне — теж; на від'ємне — знаки змінюються на протилежні.
1) $m + 1$
До всіх частин додамо $1$: $2 + 1 < m + 1 < 10 + 1$; $3 < m + 1 < 11$.
2) $m - 2$
Від усіх частин віднімемо $2$: $2 - 2 < m - 2 < 10 - 2$; $0 < m - 2 < 8$.
3) $3m$
Помножимо всі частини на $3 > 0$ — знаки зберігаються: $2 \cdot 3 < 3m < 10 \cdot 3$; $6 < 3m < 30$.
4) $\dfrac{m}{5}$
Поділимо всі частини на $5 > 0$ — знаки зберігаються: $\dfrac{2}{5} < \dfrac{m}{5} < \dfrac{10}{5}$; $\dfrac{2}{5} < \dfrac{m}{5} < 2$.
5) $-m$
Помножимо всі частини на $-1 < 0$ — знаки змінюємо на протилежні: $2 \cdot (-1) > -m > 10 \cdot (-1)$, тобто $-2 > -m > -10$. Перепишемо у звичному порядку: $-10 < -m < -2$.
6) $-7m$
Помножимо всі частини на $-7 < 0$ — знаки змінюємо: $-14 > -7m > -70$, тобто $-70 < -7m < -14$.
Подвійна нерівність
Запис $a < b < c$ означає, що одночасно справджуються $a < b$ і $b < c$. Усі дії виконуємо одразу з трьома частинами.
Властивості числових нерівностей
1) Якщо $a < b$, то $a + c < b + c$ (додавання числа зберігає знак).
2) Якщо $a < b$ і $c > 0$, то $ac < bc$ (множення на додатне зберігає знак).
3) Якщо $a < b$ і $c < 0$, то $ac > bc$ (множення на від'ємне змінює знак).
Аналогічно для $\leqslant$, $\geqslant$ та для ділення.
Як оцінити вираз $f(m)$, знаючи $a < m < b$
1) Записати подвійну нерівність $a < m < b$.
2) Виконати з усіма трьома частинами ту саму операцію, що формує вираз.
3) При множенні або діленні на від'ємне число — змінити знаки на протилежні (нижня межа стане верхньою, і навпаки).
4) Записати результат у звичному порядку «менше посередині».
Корисні наслідки
Якщо $a, b$ — числа одного знака і $a < b$, то $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ (перехід до обернених змінює знак).
Якщо $a > b + m$, то $a - m > b$ (перенесення доданка з протилежним знаком).
Чому при множенні на від'ємне нижня і верхня межі міняються місцями. Уяви $2 < 10$. Помнож на $-1$: $-2$ і $-10$. На числовій прямій $-10$ лівіше ніж $-2$, тобто $-10 < -2$. Ось чому те, що було меншим (2), після множення стало більшим за модулем, але в цілому — більшим: операція «перевернула» порядок. Те саме з усією подвійною нерівністю.
Простий спосіб не помилитися в (5) і (6). Якщо помножив на від'ємне і отримав запис $-2 > -m > -10$, не залишай його так — це незвичний для очей порядок. Перепиши «з кінця в початок»: $-10 < -m < -2$. Сенс той самий, але читається легше і допомагає не плутати в наступних діях.
Перевірка через крайнє значення. Візьми $m = 5$ (значення з середини проміжку $2 < m < 10$). У (3): $3m = 15$, перевіряємо: $6 < 15 < 30$ ✓. У (5): $-m = -5$, перевіряємо: $-10 < -5 < -2$ ✓. У (6): $-7m = -35$, перевіряємо: $-70 < -35 < -14$ ✓. Якщо при підстановці число не потрапляє в проміжок — десь помилка.
Часті помилки. 1) Забути перевернути знаки при множенні на від'ємне (отримують «$-2 < -m < -10$», що неправильно — справа стоїть менше за зліва). 2) В (4) у відповідь записати десятковий дріб $0{,}4$ замість звичайного $\dfrac{2}{5}$ — обидва правильні, але $\dfrac{2}{5}$ зручніший для подальших обчислень. 3) Виконати дію тільки з однією частиною — наприклад, додати $1$ лише до $m$: $2 < m + 1 < 10$ — забули змінити межі.
Розширення задачі. Якщо в умові $a \leqslant m \leqslant b$ замість строгої нерівності — поведінка дій така сама, лише $\leqslant$ скрізь зберігається (і теж змінюється на $\geqslant$ при множенні на від'ємне).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.