Вправа 2.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.22. Відомо, що $1{,}2 < x < 1{,}5$. Оцініть значення виразу:
- $2x + 0{,}7$;
- $5 - x$;
- $\dfrac{x}{3} - 1$;
- $2 - 10x$.
До подвійної нерівності $1{,}2 < x < 1{,}5$ застосовуємо ті самі дії, що формують вираз. При множенні чи діленні на від'ємне число знаки змінюємо на протилежні.
1) $2x + 0{,}7$
Помножимо всі частини на $2 > 0$:
$2 \cdot 1{,}2 < 2x < 2 \cdot 1{,}5$; $2{,}4 < 2x < 3$.
Додамо до всіх частин $0{,}7$:
$2{,}4 + 0{,}7 < 2x + 0{,}7 < 3 + 0{,}7$; $3{,}1 < 2x + 0{,}7 < 3{,}7$.
2) $5 - x$
Помножимо на $-1 < 0$ — знаки змінюємо:
$-1{,}5 < -x < -1{,}2$.
Додамо до всіх частин $5$:
$5 - 1{,}5 < 5 - x < 5 - 1{,}2$; $3{,}5 < 5 - x < 3{,}8$.
3) $\dfrac{x}{3} - 1$
Поділимо всі частини на $3 > 0$:
$\dfrac{1{,}2}{3} < \dfrac{x}{3} < \dfrac{1{,}5}{3}$; $0{,}4 < \dfrac{x}{3} < 0{,}5$.
Віднімемо від усіх частин $1$:
$0{,}4 - 1 < \dfrac{x}{3} - 1 < 0{,}5 - 1$; $-0{,}6 < \dfrac{x}{3} - 1 < -0{,}5$.
4) $2 - 10x$
Помножимо на $-10 < 0$ — знаки змінюємо:
$-10 \cdot 1{,}5 < -10x < -10 \cdot 1{,}2$; $-15 < -10x < -12$.
Додамо до всіх частин $2$:
$2 - 15 < 2 - 10x < 2 - 12$; $-13 < 2 - 10x < -10$.
Подвійна нерівність
Запис $a < b < c$ означає, що одночасно справджуються $a < b$ і $b < c$. Усі дії виконуємо одразу з трьома частинами.
Властивості числових нерівностей
1) Якщо $a < b$, то $a + c < b + c$ (додавання числа зберігає знак).
2) Якщо $a < b$ і $c > 0$, то $ac < bc$ (множення на додатне зберігає знак).
3) Якщо $a < b$ і $c < 0$, то $ac > bc$ (множення на від'ємне змінює знак).
Як оцінити вираз $f(x)$, знаючи $a < x < b$
1) Записати $a < x < b$.
2) Виконати з усіма трьома частинами ту саму операцію, що формує вираз (по черзі: спочатку множення/ділення, потім додавання/віднімання).
3) При множенні чи діленні на від'ємне число — змінити знаки на протилежні (нижня межа стане верхньою).
4) Записати результат у звичному порядку «менше посередині».
Порядок дій важливий. У виразі $2x + 0{,}7$ спочатку до $x$ застосовується множення на $2$, потім додавання $0{,}7$. Саме в такому порядку оцінюємо: спершу множимо нерівність на $2$, потім додаємо $0{,}7$. Якщо переплутати — отримаєш неправильні межі.
Чому в (2) і (4) знаки «перевертаються». Множення на від'ємне число змінює порядок чисел: було $1{,}2 < 1{,}5$, стало $-1{,}5 < -1{,}2$ (бо $-1{,}5$ лівіше на числовій прямій). Тому при множенні на $-1$ або $-10$ нижня і верхня межі міняються місцями.
Перевірка через середину проміжку. Візьми $x = 1{,}3$ (всередині $1{,}2 < x < 1{,}5$). У (1): $2 \cdot 1{,}3 + 0{,}7 = 3{,}3$ — справді $3{,}1 < 3{,}3 < 3{,}7$ ✓. У (4): $2 - 10 \cdot 1{,}3 = 2 - 13 = -11$ — справді $-13 < -11 < -10$ ✓.
Часті помилки. 1) Забути перевернути знаки при множенні на від'ємне. 2) У (3) скоротити $\dfrac{1{,}2}{3}$ неправильно (треба $0{,}4$, а не $0{,}04$). 3) Зробити дії не з усіма трьома частинами — наприклад, додати $0{,}7$ тільки до середини.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.