Вправа 2.24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.24. Оцініть значення виразу:
- $\dfrac{20}{a}$, якщо $2 < a < 5$;
- $\dfrac{1}{3a + 4}$, якщо $-1 < a < 2$.
Для виразів виду $\dfrac{k}{f(a)}$ використовуємо властивість: якщо числа $p$, $q$ одного знака і $p < q$, то $\dfrac{1}{p} > \dfrac{1}{q}$ (перехід до обернених змінює знак нерівності).
1) $\dfrac{20}{a}$, $2 < a < 5$
Усі частини додатні. Перейдемо до обернених — знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{5}$, тобто $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$.
Помножимо всі частини на $20 > 0$:
$\dfrac{20}{5} < \dfrac{20}{a} < \dfrac{20}{2}$; $4 < \dfrac{20}{a} < 10$.
2) $\dfrac{1}{3a + 4}$, $-1 < a < 2$
Спочатку оцінимо знаменник. Помножимо нерівність на $3 > 0$:
$-3 < 3a < 6$.
Додамо до всіх частин $4$:
$-3 + 4 < 3a + 4 < 6 + 4$; $1 < 3a + 4 < 10$.
Усі частини додатні — переходимо до обернених, знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{1} > \dfrac{1}{3a + 4} > \dfrac{1}{10}$, тобто $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{3a + 4} < 1$.
Перехід до обернених чисел
Якщо $p$ і $q$ — числа одного знака і $p < q$, то $\dfrac{1}{p} > \dfrac{1}{q}$.
Знак нерівності змінюється на протилежний.
Важливо: правило діє лише тоді, коли обидва числа одного знака (обидва додатні або обидва від'ємні). Якщо $p < 0 < q$, то знаменник $f(a)$ змінює знак — правилом користуватися не можна.
Властивості числових нерівностей
1) $a < b \Rightarrow a + c < b + c$.
2) $a < b$, $c > 0 \Rightarrow ac < bc$.
3) $a < b$, $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (знак змінюється).
Алгоритм для виразу $\dfrac{k}{f(a)}$
1) Спочатку оцінити знаменник $f(a)$ за відомою нерівністю для $a$.
2) Перевірити, що знаменник не змінює знак у проміжку (інакше задача складніша).
3) Перейти до обернених — знак нерівності змінити на протилежний.
4) Помножити на $k$ (якщо $k > 0$ — знак зберігається; якщо $k < 0$ — змінюється).
Чому при «оберненні» знак нерівності змінюється. Приклад: $2 < 5$ (це факт). Обернені: $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ і $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$. Очевидно, $0{,}5 > 0{,}2$ — менше число дало більший обернений. Чим число більше, тим його обернений менший (якщо знак не змінюється). Тому при обертанні в нерівності $<$ перетворюється на $>$.
Чому в (2) важливо було спочатку оцінити знаменник. Якби умова була $-2 < a < 2$, то $3a + 4$ мав би межі $-2 < 3a + 4 < 10$ — знаменник міг би бути від'ємним, нульовим або додатним. При $a = -\dfrac{4}{3}$ знаменник дорівнює нулю, а $\dfrac{1}{0}$ не існує. Завжди перевіряй: чи не «перескакує» знаменник через нуль.
Перевірка через середину. У (1) візьми $a = 3$: $\dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ — справді $4 < 6{,}67 < 10$ ✓. У (2) візьми $a = 0{,}5$: $3 \cdot 0{,}5 + 4 = 5{,}5$, $\dfrac{1}{5{,}5} \approx 0{,}18$ — справді $\dfrac{1}{10} = 0{,}1 < 0{,}18 < 1$ ✓.
Поширена помилка. Записати $\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{5}$ замість $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$ — забути перевернути нерівність при обертанні. Перевіряй: ліва межа має бути меншою за праву; $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$ менше за $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — отже, $\dfrac{1}{5}$ ліворуч.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.