Вправа 2.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.25. Оцініть значення виразу:
- $\dfrac{100}{x}$, якщо $5 < x < 10$;
- $\dfrac{1}{2x - 3}$, якщо $2 < x < 4$.
Для виразів виду $\dfrac{k}{f(x)}$ використовуємо властивість: якщо числа $p$, $q$ одного знака і $p < q$, то $\dfrac{1}{p} > \dfrac{1}{q}$ (перехід до обернених змінює знак нерівності).
1) $\dfrac{100}{x}$, $5 < x < 10$
Усі частини додатні. Перейдемо до обернених — знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{10}$, тобто $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$.
Помножимо всі частини на $100 > 0$:
$\dfrac{100}{10} < \dfrac{100}{x} < \dfrac{100}{5}$; $10 < \dfrac{100}{x} < 20$.
2) $\dfrac{1}{2x - 3}$, $2 < x < 4$
Спочатку оцінимо знаменник. Помножимо нерівність на $2 > 0$:
$4 < 2x < 8$.
Віднімемо від усіх частин $3$:
$4 - 3 < 2x - 3 < 8 - 3$; $1 < 2x - 3 < 5$.
Усі частини додатні — переходимо до обернених, знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{1} > \dfrac{1}{2x - 3} > \dfrac{1}{5}$, тобто $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{2x - 3} < 1$.
Перехід до обернених чисел
Якщо $p$ і $q$ — числа одного знака і $p < q$, то $\dfrac{1}{p} > \dfrac{1}{q}$.
Знак нерівності змінюється на протилежний.
Важливо: правило діє лише тоді, коли обидва числа одного знака. Якщо вираз у знаменнику переходить через нуль, оцінити дріб напряму неможливо.
Властивості числових нерівностей
1) $a < b \Rightarrow a + c < b + c$.
2) $a < b$, $c > 0 \Rightarrow ac < bc$.
3) $a < b$, $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ (знак змінюється).
Алгоритм для виразу $\dfrac{k}{f(x)}$
1) Оцінити знаменник $f(x)$ за нерівністю для $x$.
2) Переконатися, що знаменник не змінює знак у проміжку.
3) Перейти до обернених — знак нерівності змінити на протилежний.
4) Помножити на $k$.
Чому при обертанні дробу знак змінюється. Чим більше число, тим менший його обернений (при незмінному знаку). Приклад: $5 < 10$, а $\dfrac{1}{5} = 0{,}2 > 0{,}1 = \dfrac{1}{10}$. Тому $\dfrac{1}{x}$ найбільший там, де $x$ найменший, і навпаки.
Чому в (2) спочатку оцінюємо знаменник, а не одразу обертаємо. Знаменник $2x - 3$ — це функція від $x$, її значення невідомі без обчислення. Спершу треба знайти, у яких межах він знаходиться, і переконатися, що він не дорівнює нулю в цьому проміжку. Лише потім можна обертати дріб.
Підступний випадок. Якби в (2) було $1 < x < 4$, то $2x - 3$ змінювався б від $-1$ до $5$ — переходив через нуль. У такому проміжку $\dfrac{1}{2x-3}$ змінюється від $-\infty$ до $-1$ і від $\dfrac{1}{5}$ до $+\infty$ — оцінити одним подвійним записом не вийде. Тому умова в задачі підібрана так, щоб знаменник був строго додатним.
Перевірка через середину. У (1) візьми $x = 7$: $\dfrac{100}{7} \approx 14{,}3$ — справді $10 < 14{,}3 < 20$ ✓. У (2) візьми $x = 3$: $2 \cdot 3 - 3 = 3$, $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ — справді $\dfrac{1}{5} = 0{,}2 < 0{,}33 < 1$ ✓.
Часті помилки. 1) Записати $\dfrac{100}{10} < \dfrac{100}{x} < \dfrac{100}{5}$ без попереднього обертання — отримати $10 < \dfrac{100}{x} < 20$ випадково правильно, але через хибну логіку: «прямо підставляємо межі $x$ у знаменник». Так робити не можна — це збігається лише в спеціальних випадках і часто дасть невірний результат. 2) Забути перевернути знак при обертанні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.