Вправа 2.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 2.28. Порівняйте $x$ і $y$, якщо:

$x + 2 > m > y + 3$;
$x - 2 < p < y - 3$.

Розв'язання

Використовуємо транзитивність: якщо $a > b$ і $b > c$, то $a > c$. Проміжне число ($m$ або $p$) при цьому випадає з ланцюжка.

1) $x + 2 > m > y + 3$

$x + 2 > y + 3$;

$x > y + 1$.

Оскільки $y + 1 > y$, то $x > y + 1 > y$, отже $x > y$.

Відповідь

$x > y$.

2) $x - 2 < p < y - 3$

$x - 2 < y - 3$;

$x < y - 1$.

Оскільки $y - 1 < y$, то $x < y - 1 < y$, отже $x < y$.

Відповідь

$x < y$.

Транзитивність нерівності

Якщо $a > b$ і $b > c$, то $a > c$.

Аналогічно: якщо $a < b$ і $b < c$, то $a < c$.

Запис $a > b > c$ якраз означає, що обидві нерівності виконуються одночасно — а значить, виконується і $a > c$.

Перенесення доданка

$a + c \lessgtr b \;\Leftrightarrow\; a \lessgtr b - c$ (знак нерівності зберігається).

Зміст підходу. Якщо в умові є проміжне число ($m$, $p$), за яке «зачепили» обидві шукані величини — це число використовують лише як ланка ланцюга. У відповідь воно не входить. Спершу прибираємо його через транзитивність, далі — звичайні дії з нерівністю.

Чому в (1) недостатньо $x > y + 1$. На вигляд це сильніший результат, ніж $x > y$ — і так є. Але в задачі питають порівняння $x$ і $y$, тому остаточна відповідь — саме $x > y$. Те, що різниця не менша за $1$ — додатковий бонус, який можна згадати, але не обов'язково.

Перевірка прикладом. Візьмемо в (1): $x = 5$, $m = 6$, $y = 2$. Тоді $x + 2 = 7 > 6 = m$ ✓, $m = 6 > 5 = y + 3$ ✓. Порівняння: $5 > 2$ — справді $x > y$ ✓.

Часта помилка. «Викинути» проміжне число неправильно: написати $x + 2 > y + 3$ і одразу зробити висновок $x > y$, забувши перенести $2$ і $3$. Потрібно довести строгий результат через перенесення.