Вправа 2.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.29. Порівняйте $a$ і $b$, якщо:
- $a + 3 < c < b + 2$;
- $a - 7 > d > b - 5$.
За транзитивністю проміжне число випадає, далі — перенесення доданків.
1) $a + 3 < c < b + 2$
$a + 3 < b + 2$;
$a < b - 1$.
Оскільки $b - 1 < b$, то $a < b - 1 < b$, отже $a < b$.
2) $a - 7 > d > b - 5$
$a - 7 > b - 5$;
$a > b + 2$.
Оскільки $b + 2 > b$, то $a > b + 2 > b$, отже $a > b$.
Транзитивність нерівності
Якщо $a < b$ і $b < c$, то $a < c$.
Запис $a < b < c$ означає, що обидві нерівності виконуються одночасно — отже, $a < c$.
Перенесення доданка
$a + c \lessgtr b \;\Leftrightarrow\; a \lessgtr b - c$ (знак нерівності зберігається).
Алгоритм для таких задач. 1) Викинути проміжне число через транзитивність. 2) Усе, що з одного боку, зібрати разом. 3) Порівняти зі шуканою нерівністю.
Чому проміжне число важливе. Без нього не було б зв'язку між лівою й правою частиною. Наприклад, у (1) могло б бути $a + 3 = 100$ та $b + 2 = 50$ — і ніякого протиріччя, бо вони незв'язані. Саме $c$ між ними змушує $a + 3 < b + 2$.
Перевірка прикладом. Візьмемо в (2): $a = 10$, $d = 4$, $b = 7$. Тоді $a - 7 = 3$, $b - 5 = 2$. Перевіряємо: $3 > 4$? — ні, не підходить. Підкоригуємо: $a = 15$, $d = 9$, $b = 12$. Тоді $a - 7 = 8 > 9$? — теж не підходить. Спробуємо $a = 20$, $d = 10$, $b = 12$: $a - 7 = 13 > 10 = d$ ✓, $d = 10 > 7 = b - 5$ ✓. Порівняння: $20 > 12$ — справді $a > b$ ✓.
Часта помилка. У (2) при перенесенні $-7$ забути змінити знак доданка: «переносимо $-7$ — і знак не міняється» — це неправильно. При перенесенні доданок змінює знак на протилежний: $a - 7 > b - 5 \Rightarrow a > b - 5 + 7 = b + 2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.