Вправа 2.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.32. Дано $-2 < x < 2$. Оцініть значення виразу $\dfrac{6}{x}$.
У проміжку $-2 < x < 2$ значення $x$ змінює знак (від'ємне ліворуч від нуля, додатне праворуч), а при $x = 0$ вираз $\dfrac{6}{x}$ не визначений. Оцінити одним подвійним записом не можна — розглядаємо два випадки окремо.
1) $-2 < x < 0$
Обидві межі від'ємні. Переходимо до обернених, знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{-2} > \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{0^-}$, тобто $\dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$.
Помножимо на $6 > 0$: $\dfrac{6}{x} < -3$.
2) $0 < x < 2$
Обидві межі додатні. Переходимо до обернених, знаки змінюємо:
$\dfrac{1}{0^+} > \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$, тобто $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$.
Помножимо на $6 > 0$: $\dfrac{6}{x} > 3$.
Об'єднуючи: $\dfrac{6}{x} < -3$ або $\dfrac{6}{x} > 3$.
Перехід до обернених чисел
Якщо $p$ і $q$ — числа одного знака і $p < q$, то $\dfrac{1}{p} > \dfrac{1}{q}$.
Якщо знаменник переходить через нуль — оцінка одним подвійним записом неможлива; задачу розв'язують по частинах.
Поведінка $\dfrac{1}{x}$ біля нуля
При $x \to 0^+$ (наближається до нуля справа) $\dfrac{1}{x}$ необмежено зростає: $\dfrac{1}{x} \to +\infty$.
При $x \to 0^-$ (наближається зліва) $\dfrac{1}{x} \to -\infty$.
Тому $\dfrac{1}{x}$ при $0 < x < 2$ більший за $\dfrac{1}{2}$, але зверху не обмежений.
Об'єднання проміжків
Якщо вираз набуває значень або в одному проміжку, або в іншому — пишемо їх через знак $\cup$ (об'єднання).
Чому стандартний підхід не працює. У задачах 2.30-2.31 знаменник був строго додатним — можна було сміливо обертати дріб. Тут знаменник $x$ змінює знак на проміжку $-2 < x < 2$, а в точці $x = 0$ вираз взагалі не існує. Тому межі $-\dfrac{6}{2} = -3$ і $\dfrac{6}{2} = 3$ — це не верх і низ, а зовнішні границі, поза якими лежить відповідь.
Як думати про це інтуїтивно. Чим ближче $x$ до нуля, тим більший за модулем $\dfrac{6}{x}$. При $x = 0{,}001$: $\dfrac{6}{x} = 6000$. При $x = -0{,}001$: $\dfrac{6}{x} = -6000$. Тобто значення розбігаються в обидва боки. А при $|x|$ близькому до $2$ — значення близьке до $\pm 3$.
Перевірка крайніх точок. При $x = 1$ (з правого підпроміжку): $\dfrac{6}{1} = 6 > 3$ ✓. При $x = -1$ (з лівого): $\dfrac{6}{-1} = -6 < -3$ ✓. При $x = 1{,}9$ (близько до $2$): $\dfrac{6}{1{,}9} \approx 3{,}16 > 3$ ✓.
Часта помилка. Написати $\dfrac{6}{-2} < \dfrac{6}{x} < \dfrac{6}{2}$, тобто $-3 < \dfrac{6}{x} < 3$ — це повністю невірно. Насправді $\dfrac{6}{x}$ при таких $x$ ніколи не потрапляє в проміжок $(-3;\,3)$, навпаки — лежить за його межами.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.