Вправа 2.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.34. Розв'яжіть рівняння:
- $\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 2}{1 - x} = \dfrac{x + 5}{x^2 - 1}$;
- $\dfrac{3}{x} - \dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{x + 2}{x^2 - 2x}$.
1) $\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 2}{1 - x} = \dfrac{x + 5}{x^2 - 1}$
ОДЗ: $x \neq \pm 1$.
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, $1 - x = -(x - 1)$.
Спільний знаменник $(x - 1)(x + 1)$:
$\dfrac{(x + 3)(x - 1) + (x + 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 1)}$;
$(x + 3)(x - 1) + (x + 2)(x + 1) = x + 5$;
$x^2 + 2x - 3 + x^2 + 3x + 2 = x + 5$;
$2x^2 + 5x - 1 = x + 5$;
$2x^2 + 4x - 6 = 0$;
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
$D = 4 + 12 = 16$, $\sqrt{D} = 4$;
$x_1 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1$ — не задовольняє ОДЗ;
$x_2 = \dfrac{-2 - 4}{2} = -3$. $x = -3$.
2) $\dfrac{3}{x} - \dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{x + 2}{x^2 - 2x}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$.
$x^2 - 2x = x(x - 2)$, $2 - x = -(x - 2)$.
Спільний знаменник $x(x - 2)$:
$\dfrac{3(x - 2) + x \cdot x}{x(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x(x - 2)}$;
$3(x - 2) + x^2 = x + 2$;
$3x - 6 + x^2 = x + 2$;
$x^2 + 2x - 8 = 0$.
$D = 4 + 32 = 36$, $\sqrt{D} = 6$;
$x_1 = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2$ — не задовольняє ОДЗ;
$x_2 = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4$. $x = -4$.
Область допустимих значень (ОДЗ)
Усі значення змінної, при яких знаменники дробів не дорівнюють нулю. Корені, що не входять до ОДЗ, відкидають.
Різниця квадратів
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Зокрема, $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Винесення спільного множника
$x^2 - 2x = x(x - 2)$.
Дискримінант
Для $ax^2 + bx + c = 0$: $D = b^2 - 4ac$, $\;x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Алгоритм розв'язання дробового рівняння
1) Розкласти знаменники на множники, виписати ОДЗ.
2) Звести до спільного знаменника.
3) Прирівняти чисельники (бо знаменники однакові).
4) Розв'язати отримане цілісне рівняння.
5) Перевірити корені на відповідність ОДЗ — сторонні відкинути.
Чому корінь $x = 1$ у (1) — сторонній. При зведенні до спільного знаменника й переході до рівняння $(x+3)(x-1) + (x+2)(x+1) = x+5$ ми фактично помножили обидві частини на $(x-1)(x+1)$. Якщо $x = 1$, то множник $(x-1) = 0$ — і обидві частини стають $0 = 0$, але початкове рівняння не визначене (знаменник $1-x = 0$). Тому $x = 1$ потрапляє в розв'язки цілісного рівняння, але не є коренем дробового.
Не забудь ОДЗ ще до розв'язання. Випиши заборонені значення одразу, ще на початку. Інакше можна не помітити стороннього кореня і дати неправильну відповідь.
Знак $-(x-1)$ у (1) і $-(x-2)$ у (2). Знаменники $1-x$ та $x+1$ виглядають по-різному, але $1-x = -(x-1)$. Винеси мінус — і всі знаменники зведуться до одного «правильного» вигляду $(x-1)(x+1)$. Без цього спільний знаменник буде вдвічі складнішим.
Перевірка для (1). $x = -3$: лівa частина $= \dfrac{-3+3}{-3+1} - \dfrac{-3+2}{1-(-3)} = \dfrac{0}{-2} - \dfrac{-1}{4} = 0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$. Права: $\dfrac{-3+5}{9-1} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ ✓.
Перевірка для (2). $x = -4$: лівa $= \dfrac{3}{-4} - \dfrac{-4}{2-(-4)} = -\dfrac{3}{4} - \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{9}{12} + \dfrac{8}{12} = -\dfrac{1}{12}$. Права: $\dfrac{-4+2}{16+8} = \dfrac{-2}{24} = -\dfrac{1}{12}$ ✓.
Часта помилка. Не виписати ОДЗ і записати у відповідь обидва корені — отримати неправильну відповідь у $50\%$ випадків. Завжди перевіряй коріння на ОДЗ перед остаточним записом.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.