Вправа 2.35 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.35. Доведіть, що значення виразу $8^{15} - 2^{40}$ кратне числу $31$.
$8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{45}$;
$8^{15} - 2^{40} = 2^{45} - 2^{40} = 2^{40}(2^5 - 1) =$
$= 2^{40} \cdot (32 - 1) = $ $2^{40} \cdot 31$.
Добуток $2^{40} \cdot 31$ кратний $31$, що й треба було довести.
Степінь степеня
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Зокрема, $8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{45}$.
Винесення спільного множника
$a^m - a^n = a^n(a^{m-n} - 1)$ при $m > n$.
Виноситься менша степінь, у дужках лишається різниця.
Кратність
Число $N$ кратне $k$, якщо $N = k \cdot t$ для деякого цілого $t$.
Щоб довести кратність — представити число у вигляді добутку, де один з множників дорівнює $k$.
Перетворення з однаковою основою
У задачах на степені різні основи зводять до однієї:
$4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$.
З чого починати такі задачі. Якщо основи степенів різні ($8$ і $2$) — спершу зводимо їх до спільної основи. $8 = 2^3$, тому $8^{15} = 2^{45}$. Після цього маємо різницю степенів з однаковою основою — а її легко розкласти на множники.
Чому саме $31$ з'явилось. $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$. Це число $31$ — просте, тому його неможливо «отримати випадково» зі звичайного перетворення. Тут $31$ закладене в задачу — потрібно лише довести, що воно «вискочить» як множник.
Чому виносимо саме $2^{40}$, а не $2^{45}$. Виносимо меншу степінь — тоді в дужках залишиться додатна різниця. Якби винесли $2^{45}$, то отримали б $2^{45}(1 - 2^{-5})$ — некоректно для цілочисельного аналізу (з'явився б дріб). Завжди виноси меншу степінь.
Як виглядає загальне правило. Будь-який вираз $a^{5k} - 1$ ділиться на $a^5 - 1$. У нашій задачі $2^{45} - 2^{40} = 2^{40}(2^5 - 1)$, і дільник $2^5 - 1 = 31$ виходить «безкоштовно». Подібні задачі (доведення на $7$, $13$, $63$, $127$) розв'язуються так само — пошуком потрібної різниці $a^k - 1$.
Знак $\vdots$. Запис $N \;\vdots\; k$ означає «$N$ ділиться на $k$» — це український шкільний символ. Можна писати й словами: «$N$ кратне $k$».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.