Вправа 2.36 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 2.36. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2 - 3x - 10 = 0$. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2 + x_2^2$.
За теоремою Вієта для $ax^2 + bx + c = 0$: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Тут $a = 2$, $b = -3$, $c = -10$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2}$;
$x_1 x_2 = \dfrac{-10}{2} = -5$.
Скористаємось тотожністю $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$:
$x_1^2 + x_2^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot (-5) =$
$= \dfrac{9}{4} + 10 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{40}{4} = $ $\dfrac{49}{4} = 12{,}25$.
Теорема Вієта (загальна форма)
Для рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ з коренями $x_1$, $x_2$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Теорема Вієта (для зведеного)
Для $x^2 + px + q = 0$:
$x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.
Квадрат суми
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Звідси: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.
Корисні наслідки для коренів
Через $s = x_1 + x_2$ і $p = x_1 x_2$:
$x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$;
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{s}{p}$;
$(x_1 - x_2)^2 = s^2 - 4p$;
$x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3ps$.
Чому «не розв'язуючи рівняння». Дискримінант тут $D = 9 + 80 = 89$ — не дає круглого кореня ($\sqrt{89}$ — ірраціональне число). Якби розв'язували напряму, отримали б корені з $\sqrt{89}$, які при підстановці у $x_1^2 + x_2^2$ дали б громіздкі обчислення. Через Вієта — три рядки.
Як зводити симетричні вирази до $s$ і $p$. Будь-який симетричний вираз від $x_1$ і $x_2$ (тобто такий, що не змінюється при перестановці коренів) можна виразити через $s = x_1 + x_2$ і $p = x_1 x_2$. Це загальний підхід — спочатку знайди $s$ і $p$, потім «згорни» вираз.
Звідки береться формула $x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$. Розкриємо квадрат: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Перенесемо середній доданок: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2$. Цю тотожність варто пам'ятати — у задачах через Вієта вона зустрічається постійно.
Уважно з мінусами. У рівнянні $2x^2 - 3x - 10 = 0$ маємо $b = -3$ (з мінусом!), тому $x_1 + x_2 = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2}$. І $c = -10$, тому $x_1 x_2 = \dfrac{-10}{2} = -5$. Часта помилка — пропустити знак при $b$.
Перевірка. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 9 + 80 = 89$. $x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{89}}{4}$. Тоді $x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{(3+\sqrt{89})^2 + (3-\sqrt{89})^2}{16} = \dfrac{2(9 + 89)}{16} = \dfrac{196}{16} = \dfrac{49}{4} = 12{,}25$ ✓.
Тип задачі. Це класичне завдання на «згортання» симетричного виразу через Вієта. Подібні: знайти $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ ($= s/p$), $(x_1 - x_2)^2$ ($= s^2 - 4p$), $x_1^3 + x_2^3$ ($= s^3 - 3ps$). Усі вони працюють за тим же принципом — виразити через $s$ і $p$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.