Вправа 20.14 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.14. Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії $(b_n)$, у якої:
- $b_2 = 8$, $q = 4$;
- $b_3 = 27$, $q = -3$.
1) $b_2 = 8$, $q = 4$
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{8}{4} = 2$.
$S_5 = 2 \cdot \dfrac{4^5 - 1}{4 - 1} = \dfrac{2 \cdot 1023}{3} = \dfrac{2046}{3} = 682$.
2) $b_3 = 27$, $q = -3$
$b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{27}{(-3)^2} = \dfrac{27}{9} = 3$.
$S_5 = 3 \cdot \dfrac{(-3)^5 - 1}{-3 - 1} = $
$= 3 \cdot \dfrac{-243 - 1}{-4} =$
$= 3 \cdot \dfrac{-244}{-4} = 3 \cdot 61 = 183$.
Формула $n$-го члена
$b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$.
Звідси: $b_1 = \dfrac{b_k}{q^{\,k-1}}$.
Сума перших $n$ членів (формула 2 з §20)
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Степені від'ємної основи
Парний степінь: $(-a)^{2k} = a^{2k} > 0$.
Непарний степінь: $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1} < 0$ при $a > 0$.
Як отримати $b_1$, знаючи $b_k$. З формули $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$ просто ділимо: $b_1 = b_k / q^{k-1}$. У пункті (1): $b_1 = b_2 / q^1 = 8/4 = 2$. У пункті (2): $b_1 = b_3 / q^2 = 27/9 = 3$.
Знак у пункті (2). $q = -3$, тому $(-3)^5 = -243$ — непарний степінь від'ємного числа від'ємний. Чисельник $-243 - 1 = -244$, знаменник $-3 - 1 = -4$. Два мінуси скорочуються: $(-244)/(-4) = 61$.
Перевірка пункту (1). Прогресія: $2;\; 8;\; 32;\; 128;\; 512$. Сума: $2+8+32+128+512 = 682$ ✓.
Перевірка пункту (2). $b_1=3$, перші 5 членів: $3;\;-9;\;27;\;-81;\;243$. Сума: $3 - 9 + 27 - 81 + 243 = 183$ ✓.
Часті помилки. 1) В (2) взяти $b_1 = b_3/q$ замість $b_3/q^2$ — ділити потрібно на $q^{k-1}$, а не на $q$. 2) Помилитися зі знаком $(-3)^5$: це $-243$, а не $243$. 3) Переплутати знаменник формули: пишуть $q+1$ замість $q-1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.