Вправа 20.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.15. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
- $S_8$, якщо $b_3 = \dfrac{1}{4}$, $b_4 = \dfrac{1}{8}$;
- $S_5$, якщо $b_1 = 5$, $b_3 = 45$, $q > 0$;
- $S_4$, якщо $b_2 = 8$, $b_4 = 2$, $q < 0$;
- $S_7$, якщо $b_1 = 5$, $b_4 = 40$.
1) $S_8$, $b_3 = \tfrac{1}{4}$, $b_4 = \tfrac{1}{8}$
$q = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$.
$b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{4}} = 1$.
$S_8 = 1 \cdot \dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^8 - 1}{\tfrac{1}{2} - 1} = \dfrac{\tfrac{1}{256} - 1}{-\tfrac{1}{2}} =$
$= \dfrac{-\tfrac{255}{256}}{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{255}{256} \cdot 2 = \dfrac{255}{128}$.
2) $S_5$, $b_1 = 5$, $b_3 = 45$, $q > 0$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$.
$5q^2 = 45$.
$q^2 = 9$.
$q = 3$ ($q > 0$).
$S_5 = 5 \cdot \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \dfrac{242}{2} = 5 \cdot 121 = 605$.
3) $S_4$, $b_2 = 8$, $b_4 = 2$, $q < 0$
$q^2 = \dfrac{b_4}{b_2} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
$q = -\dfrac{1}{2}$ ($q < 0$).
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{8}{-\tfrac{1}{2}} = -16$.
$S_4 = (-16) \cdot \dfrac{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^4 - 1}{-\tfrac{1}{2} - 1} = (-16) \cdot \dfrac{\tfrac{1}{16} - 1}{-\tfrac{3}{2}} =$
$= (-16) \cdot \dfrac{-\tfrac{15}{16}}{-\tfrac{3}{2}} = (-16) \cdot \dfrac{5}{8} = -10$.
4) $S_7$, $b_1 = 5$, $b_4 = 40$
$q^3 = \dfrac{b_4}{b_1} = \dfrac{40}{5} = 8$.
$q = 2$.
$S_7 = 5 \cdot \dfrac{2^7 - 1}{2 - 1} = 5 \cdot 127 = 635$.
Знаменник через два члени
Сусідні: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.
Довільні: $q^{m-k} = \dfrac{b_m}{b_k}$.
Парна і непарна степінь $q$
$q^{2k} = a \Rightarrow q = \pm\sqrt{a}$ — обираємо потрібний знак за умовою.
$q^{2k+1} = a \Rightarrow q = \sqrt[2k+1]{a}$ — одне значення.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Як знайти $q$, якщо задані $b_m$ і $b_k$. З формули $b_m/b_k = q^{m-k}$. У (1): $q = b_4/b_3$ — сусідні члени, тут $m-k=1$. У (3) і (4): $m-k=2$ або $m-k=3$.
Умова $q < 0$ у пункті (3). Рівняння $q^2 = 1/4$ дає два корені: $q = 1/2$ або $q = -1/2$. Умова відбирає $q = -1/2$. Зверни увагу: $b_1 = b_2/q = 8/(-1/2) = -16$ — перший член від'ємний.
Розрахунок $S_4$ у (3). Крок: $(-15/16) \div (-3/2) = (15/16) \cdot (2/3) = 30/48 = 5/8$. Потім $(-16) \cdot (5/8) = -10$.
Пункт (4): $q^3 = 8$. Оскільки степінь непарна — рівняння має єдиний корінь $q = \sqrt[3]{8} = 2$, умову «$q > 0$» або «$q < 0$» не задано, тому питання вибору знака не виникає.
Часті помилки. 1) У (3): $q^2 = b_4/b_2 = 2/8$ — саме $b_4/b_2$, а не $b_2/b_4$. 2) Забути, що $b_1 = b_2/q$ може бути від'ємним. 3) У (1): $b_1 = b_3/q^2 = (1/4)/(1/4) = 1$, а не $1/4 \cdot 4 = 1$ — перевір ділення дробу на дріб.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.