Вправа 20.16 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.16. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
- $S_7$, якщо $b_2 = \dfrac{1}{3}$, $b_3 = \dfrac{1}{9}$;
- $S_8$, якщо $b_1 = 9$, $b_3 = 36$, $q > 0$;
- $S_4$, якщо $b_2 = 25$, $b_4 = 1$, $q < 0$;
- $S_6$, якщо $b_1 = 1$, $b_4 = 27$.
1) $S_7$, $b_2 = \tfrac{1}{3}$, $b_3 = \tfrac{1}{9}$
$q = \dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{3}$.
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 1$.
$S_7 = 1 \cdot \dfrac{\left(\tfrac{1}{3}\right)^7 - 1}{\tfrac{1}{3} - 1} = \dfrac{\tfrac{1}{2187} - 1}{-\tfrac{2}{3}} =$
$= \dfrac{-\tfrac{2186}{2187}}{-\tfrac{2}{3}} = \dfrac{2186}{2187} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{1093}{729}$.
2) $S_8$, $b_1 = 9$, $b_3 = 36$, $q > 0$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$.
$9q^2 = 36$.
$q^2 = 4$.
$q = 2$ ($q > 0$).
$S_8 = 9 \cdot \dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} = 9 \cdot 255 = 2295$.
3) $S_4$, $b_2 = 25$, $b_4 = 1$, $q < 0$
$q^2 = \dfrac{b_4}{b_2} = \dfrac{1}{25}$.
$q = -\dfrac{1}{5}$ ($q < 0$).
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{25}{-\tfrac{1}{5}} = -125$.
$S_4 = (-125) \cdot \dfrac{\left(-\tfrac{1}{5}\right)^4 - 1}{-\tfrac{1}{5} - 1} = $
$= (-125) \cdot \dfrac{\tfrac{1}{625} - 1}{-\tfrac{6}{5}} =$
$= (-125) \cdot \dfrac{-\tfrac{624}{625}}{-\tfrac{6}{5}} = $
$= (-125) \cdot \dfrac{624 \cdot 5}{625 \cdot 6} = $
$= (-125) \cdot \dfrac{104}{125} = -104$.
4) $S_6$, $b_1 = 1$, $b_4 = 27$
$q^3 = \dfrac{b_4}{b_1} = \dfrac{27}{1} = 27$.
$q = 3$.
$S_6 = 1 \cdot \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = \dfrac{729 - 1}{2} = \dfrac{728}{2} = 364$.
Знаменник через два члени
Сусідні: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.
Через рівні проміжки: $q^{m-k} = \dfrac{b_m}{b_k}$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Спрощення при $|q| < 1$
Зручніша форма: $S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ (еквівалентна, чисельник і знаменник множаться на $-1$).
Пункт (1): дроби у всьому. $b_1 = 1$, $q = 1/3$ — прогресія спадаюча, члени дробові. Формула дає $S_7 = 1093/729$. Перевір: $1 + 1/3 + 1/9 + \ldots + 1/729 = (729 + 243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1)/729 = 1093/729$ ✓.
Пункт (3): великий від'ємний $b_1$. $b_1 = b_2/q = 25/(-1/5) = 25 \cdot (-5) = -125$. Не забувай: ділення на дріб $= $ множення на обернений. Далі $(-125) \cdot 104/125 = -104$: коефіцієнт $125$ скорочується.
Як скоротити $624/(625 \cdot 6)$ в (3). $624 = 6 \cdot 104$. Тоді $624/6 = 104$, $104/625$ залишається. Множимо на $5/1$ (з $5$ в чисельнику дробу): $104 \cdot 5/625 = 520/625 = 104/125$. Потім $(-125) \cdot 104/125 = -104$.
Пункт (4): $q^3 = 27$. Тут $q = \sqrt[3]{27} = 3$ — єдиний дійсний корінь, умова «$q > 0$» або «$q < 0$» не потрібна.
Часті помилки. 1) У (1) написати $q = b_2/b_3$ замість $b_3/b_2$ — переплутати порядок. 2) У (3) не скоротити і отримати неправильний дріб. 3) Забути підставити правильний $b_1$ у формулу — підставляють $b_2$ або $b_3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.