Вправа 20.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.17. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_n)$, у якої:
- $q = 2$, $S_6 = 315$;
- $q = -\dfrac{2}{3}$, $S_4 = 13$.
1) $q = 2$, $S_6 = 315$
$S_6 = b_1 \cdot \dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = b_1 \cdot 63$.
$63b_1 = 315$.
$b_1 = 5$.
2) $q = -\dfrac{2}{3}$, $S_4 = 13$
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}$.
$S_4 = b_1 \cdot \dfrac{\dfrac{16}{81} - 1}{-\dfrac{2}{3} - 1} = b_1 \cdot \dfrac{-\dfrac{65}{81}}{-\dfrac{5}{3}} =$
$= b_1 \cdot \dfrac{65}{81} \cdot \dfrac{3}{5} = b_1 \cdot \dfrac{13}{27}$.
$b_1 \cdot \dfrac{13}{27} = 13$.
$b_1 = 27$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Знаходження $b_1$ за $S_n$
$b_1 = S_n \cdot \dfrac{q - 1}{q^n - 1}$.
$b_1$ є простим множником у $S_n = b_1 \cdot K$, де $K = \dfrac{q^n-1}{q-1}$ обчислюється за відомими $q$ і $n$.
Скорочення дробів
При діленні дробу на дріб: $\dfrac{a/b}{c/d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
Ключова ідея. У формулі $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n-1}{q-1}$ невідоме $b_1$ стоїть як простий множник. Обчислюємо коефіцієнт $K = (q^n-1)/(q-1)$ числово, потім ділимо $S_n$ на $K$.
Пункт (1): $K = (2^6-1)/(2-1) = 63/1 = 63$. Потім $b_1 = 315/63 = 5$. Перевірка: прогресія $5;\;10;\;20;\;40;\;80;\;160$, сума $= 315$ ✓.
Пункт (2): крок за кроком. Спочатку обчислюємо $(-2/3)^4 = 16/81$ — парний степінь, завжди додатний. Чисельник: $16/81 - 1 = -65/81$. Знаменник: $-2/3 - 1 = -5/3$. Дріб: $(-65/81)/(-5/3) = (65/81) \cdot (3/5) = 195/405 = 13/27$. Ділення: $b_1 = 13 \div (13/27) = 13 \cdot (27/13) = 27$.
Перевірка пункту (2). $b_1 = 27$, $q = -2/3$: члени $27;\;-18;\;12;\;-8$. Сума $= 27 - 18 + 12 - 8 = 13$ ✓.
Часті помилки. 1) Написати коефіцієнт як $q^n/(q-1)$, забувши мінус $1$ в чисельнику. 2) Переплутати знак: $(-2/3)^4 = 16/81$, а не $-16/81$. 3) При скороченні $195/405$ не помітити, що $\gcd(195,405) = 15$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.