Вправа 20.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.18. Знайдіть перший член геометричної прогресії $(b_n)$, у якої:
- $q = -2$, $S_6 = -63$;
- $q = \dfrac{1}{3}$, $S_5 = 121$.
1) $q = -2$, $S_6 = -63$
$(-2)^6 = 64$.
$S_6 = b_1 \cdot \dfrac{64 - 1}{-2 - 1} = b_1 \cdot \dfrac{63}{-3} = -21b_1$.
$-21b_1 = -63$.
$b_1 = 3$.
2) $q = \dfrac{1}{3}$, $S_5 = 121$
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = \dfrac{1}{243}$.
$S_5 = b_1 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{243} - 1}{\dfrac{1}{3} - 1} = b_1 \cdot \dfrac{-\dfrac{242}{243}}{-\dfrac{2}{3}}.$
$= b_1 \cdot \dfrac{242}{243} \cdot \dfrac{3}{2} = b_1 \cdot \dfrac{121}{81}$ =
$b_1 \cdot \dfrac{121}{81} = 121$.
$b_1 = 81$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Від'ємний знаменник
При $q = -2$: знаменник $q - 1 = -3 < 0$. Коефіцієнт $K = (q^n-1)/(q-1)$ може бути від'ємним.
Знак $S_n$ залежить від знаків і $b_1$, і $K$.
Парний степінь від'ємного числа
$(-2)^6 = 2^6 = 64$ (парний показник — результат додатний).
Пункт (1): чому $K$ від'ємний. $(-2)^6 = 64$ — парний степінь, додатний. Але знаменник $q - 1 = -3$ від'ємний. Тому $K = 63/(-3) = -21$. Рівняння $-21 b_1 = -63$ дає $b_1 = 3$ — обидва мінуси скорочуються.
Перевірка пункту (1). Прогресія: $3;\;-6;\;12;\;-24;\;48;\;-96$. Сума $= 3 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 = -63$ ✓.
Пункт (2): обидва мінуси у чисельнику і знаменнику скорочуються. $q = 1/3 < 1$, тому $q^5 - 1 = 1/243 - 1 < 0$ і $q - 1 = 1/3 - 1 < 0$. Обидва від'ємні — їх частка додатна. Коефіцієнт $K = 121/81 > 0$, і $b_1 = 121 \div (121/81) = 81 > 0$.
Скорочення в (2). $242/2 = 121$, $243/3 = 81$. Тому $242 \cdot 3/(243 \cdot 2) = 121/81$.
Перевірка пункту (2). $b_1 = 81$, $q = 1/3$: члени $81;\;27;\;9;\;3;\;1$. Сума $= 121$ ✓.
Часті помилки. 1) У (1) написати $(-2)^6 = -64$ — парний степінь завжди додатний. 2) У (2) скоротити $242/243$ з $2/3$ неправильно: треба $242 \cdot 3/(243 \cdot 2)$, а не $242/243 \cdot 2/3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.