Вправа 20.20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.20. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія, $b_2 = 125$, $b_4 = 5$. Знайдіть $S_5$.
$q^2 = \dfrac{b_4}{b_2} = \dfrac{5}{125} = \dfrac{1}{25}$.
$q = \dfrac{1}{5}$ або $q = -\dfrac{1}{5}$.
$q = \dfrac{1}{5}$
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{125}{\tfrac{1}{5}} = 625$.
$S_5 = 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 781$.
$q = -\dfrac{1}{5}$
$b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{125}{-\tfrac{1}{5}} = -625$.
$S_5 = -625 + 125 - 25 + 5 - 1 = -521$.
Знаменник через два члени
$q^{m-k} = \dfrac{b_m}{b_k}$.
Якщо $m - k$ парне — два значення $q = \pm\sqrt[m-k]{b_m/b_k}$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Якщо члени прогресії цілі — зручніше скласти безпосередньо.
Чому дві відповіді. Рівняння $q^2 = 1/25$ має два кореня: $q = 1/5$ і $q = -1/5$. Умова «$q > 0$» або «$q < 0$» не задана, тому обидва значення допустимі й породжують різні прогресії.
Перший випадок ($q = 1/5$). Прогресія спадна, всі члени додатні: $625;\;125;\;25;\;5;\;1$. Сума $= 781$.
Другий випадок ($q = -1/5$). Прогресія знакочергувальна: $-625;\;125;\;-25;\;5;\;-1$. Сума $= -521$. Перший член від'ємний, тому і сума від'ємна — перевіряй знак $b_1 = b_2/q$.
Де саме виникає рівняння $q^2 = \ldots$ $b_4/b_2 = b_1 q^3/(b_1 q) = q^2$. Це стандартний прийом: ділимо два члени, щоб позбутися $b_1$ і отримати степінь $q$.
Часті помилки. 1) Взяти тільки $q = 1/5$, забувши від'ємний корінь. 2) Обчислити $b_1 = b_2 \cdot q$ замість $b_2/q$. 3) У другому випадку знайти $b_1 = +625$ замість $-625$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.