Вправа 20.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.21. Послідовність $(c_n)$ — геометрична прогресія, $c_3 = 27$, $c_5 = 3$. Знайдіть $S_6$.
$q^2 = \dfrac{c_5}{c_3} = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9}$.
$q = \dfrac{1}{3}$ або $q = -\dfrac{1}{3}$.
$c_1 = \dfrac{c_3}{q^2} = \dfrac{27}{\tfrac{1}{9}} = 243$.
$q = \dfrac{1}{3}$
$S_6 = 243 \cdot \dfrac{\left(\tfrac{1}{3}\right)^6 - 1}{\tfrac{1}{3} - 1} = \dfrac{\tfrac{1}{729} - 1}{-\tfrac{2}{3}} \cdot 243 =$
$= \dfrac{-\tfrac{728}{729}}{-\tfrac{2}{3}} \cdot 243 = \dfrac{728}{729} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 243 = \dfrac{728}{2} = 364$.
$q = -\dfrac{1}{3}$
$S_6 = 243 \cdot \dfrac{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^6 - 1}{-\tfrac{1}{3} - 1} = \dfrac{\tfrac{1}{729} - 1}{-\tfrac{4}{3}} \cdot 243 =$
$= \dfrac{-\tfrac{728}{729}}{-\tfrac{4}{3}} \cdot 243 = \dfrac{728}{729} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot 243 = \dfrac{728}{4} = 182$.
Знаменник через два члени
$q^{m-k} = \dfrac{c_m}{c_k}$.
$c_1 = \dfrac{c_k}{q^{\,k-1}}$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = c_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
$c_1$ не залежить від знаку $q$
$c_1 = c_3/q^2$ — ділимо на $q^2$. Оскільки $q^2 = 1/9$ однакове для $q = \pm 1/3$, то $c_1 = 243$ в обох випадках.
$c_1$ однакове для обох $q$. $c_1 = c_3/q^2 = 27/(1/9) = 243$ незалежно від знаку $q$, бо $q^2$ однакове. Але $S_6$ різні, бо знаменник $q - 1$ відрізняється: $1/3 - 1 = -2/3$ проти $-1/3 - 1 = -4/3$.
Перевірка ($q = 1/3$). Прогресія: $243;\;81;\;27;\;9;\;3;\;1$. Сума $= 364$ ✓.
Перевірка ($q = -1/3$). Прогресія: $243;\;-81;\;27;\;-9;\;3;\;-1$. Сума $= 243 - 81 + 27 - 9 + 3 - 1 = 182$ ✓.
Скорочення в розрахунку. $243/729 = 1/3$ і $1/3 \cdot 3 = 1$. Тому в обох випадках $728/729 \cdot 3 \cdot 243 = 728 \cdot 243/243 = 728$, потім ділимо на $2$ або $4$.
Часті помилки. 1) Знайти $c_1 = \pm 243$, не зрозумівши, що $c_1$ не залежить від знаку $q$. 2) Підставити $q = 1/3$ у формулу без урахування, що $n = 6$, а не $5$. 3) Помилитися зі знаменником: для $q = -1/3$ він дорівнює $-4/3$, а не $-2/3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.