Вправа 20.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.22. (З книжки Я. І. Перельмана «Жива математика», 1967 р.) Один чоловік запропонував багатію таку угоду: чоловік щодня протягом місяця сплачуватиме багатію по 100 000 карбованців, а багатій сплачуватиме цьому чоловікові: першого дня — 1 копійку, другого — 2 копійки, третього — 4 копійки, четвертого — 8 копійок і далі в той самий спосіб. Угода діятиме рівно 30 днів. Багатій погодився. Хто з них виграє за такої угоди? Візьміть до уваги, що 1 карбованець = 100 копійок.
Платежі чоловіка багатію
$100\,000 \cdot 30 = 3\,000\,000$ (карбованців).
Платежі багатія чоловікові
Геометрична прогресія: $b_1 = 1$ коп., $q = 2$, $n = 30$.
$S_{30} = 1 \cdot \dfrac{2^{30} - 1}{2 - 1} = 2^{30} - 1$ (копійок).
$2^{10} = 1\,024$.
$2^{20} = 1\,024^2 = 1\,048\,576$.
$2^{30} = 2^{20} \cdot 2^{10} = 1\,048\,576 \cdot 1\,024 = 1\,073\,741\,824$.
$S_{30} = 1\,073\,741\,824 - 1 = 1\,073\,741\,823$ (копійок).
$1\,073\,741\,823 : 100 = 10\,737\,418$ карб. $23$ коп.
Порівняння
Чоловік отримує від багатія $10\,737\,418$ карб. $23$ коп.
Чоловік сплачує багатію $3\,000\,000$ карб.
Чистий виграш чоловіка: $\approx 7\,737\,418$ карб.
Сума перших $n$ членів геометричної прогресії
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
При $b_1 = 1$, $q = 2$: $S_n = 2^n - 1$.
Обчислення великих степенів двійки
$2^{10} = 1\,024 \approx 10^3$.
$2^{20} = (2^{10})^2 \approx 10^6$.
$2^{30} = 2^{20} \cdot 2^{10} \approx 10^9$.
Чому багатій програє. Він побачив: «першого дня 1 копійка — смішні гроші». Але геометрична прогресія з $q = 2$ зростає надзвичайно швидко. Тільки в 30-й день багатій має сплатити $2^{29} \approx 536$ мільйонів копійок $= 5\,368\,709$ карб.
Ефект «подвоєння». $2^{30} \approx 10^9$ — це мільярд. Навіть $2^{20} = 1\,048\,576$ копійок $= 10\,485$ карб. вже на 20-й день. Задача з книги Перельмана — класична ілюстрація показникового зростання.
Як обчислити $2^{30}$ без калькулятора. $2^{10} = 1024$. $2^{20} = 1024^2$: $1024^2 = (1000+24)^2 = 1\,000\,000 + 48\,000 + 576 = 1\,048\,576$. $2^{30} = 1\,048\,576 \cdot 1024$: $1\,048\,576 \cdot 1000 + 1\,048\,576 \cdot 24 = 1\,048\,576\,000 + 25\,165\,824 = 1\,073\,741\,824$.
Одиниці вимірювання. Платежі чоловіка — в карбованцях, платежі багатія — в копійках. Потрібно привести до однієї одиниці перед порівнянням: $S_{30}$ копійок $\div\,100 =$ карбованці.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.