Вправа 20.23 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.23. Послідовність $(c_n)$ — геометрична прогресія, $c_5 - c_3 = 144$, $c_4 - c_2 = 48$. Знайдіть $S_6$.
$c_5 - c_3 = c_1 q^4 - c_1 q^2 = c_1 q^2(q^2 - 1) = 144$.
$c_4 - c_2 = c_1 q^3 - c_1 q = c_1 q(q^2 - 1) = 48$.
$\dfrac{c_5 - c_3}{c_4 - c_2} = \dfrac{c_1 q^2(q^2 - 1)}{c_1 q(q^2 - 1)} = q$.
$q = \dfrac{144}{48} = 3$.
$c_1 \cdot q \cdot (q^2 - 1) = 48$.
$c_1 \cdot 3 \cdot (9 - 1) = 48$.
$24c_1 = 48$.
$c_1 = 2$.
$S_6 = 2 \cdot \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = \dfrac{2 \cdot 728}{2} = 728$.
Виноска спільного множника
$c_m - c_k = c_1 q^{m-1} - c_1 q^{k-1} = c_1 q^{k-1}(q^{m-k} - 1)$.
При $m - k = 2$: $c_m - c_k = c_1 q^{k-1}(q^2 - 1)$.
Знаходження $q$ діленням двох різниць
Якщо $c_5 - c_3 = c_1 q^2(q^2-1)$ і $c_4 - c_2 = c_1 q(q^2-1)$, то їх частка дає $q$ — спільний множник $c_1(q^2-1)$ скорочується.
Сума перших $n$ членів
$S_n = c_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Ключ — виносення спільного множника. $c_5 - c_3 = c_1 q^2(q^2-1)$ і $c_4 - c_2 = c_1 q(q^2-1)$. Обидва вирази містять $c_1(q^2-1)$. При діленні цей множник скорочується і залишається лише $q$.
Чому саме $q$, а не $q^2$. У чисельнику $c_1 q^{\mathbf{2}}(q^2-1)$, у знаменнику $c_1 q^{\mathbf{1}}(q^2-1)$. Різниця показників: $2 - 1 = 1$, тому $q^{2-1} = q^1 = q$.
Перевірка. Прогресія: $2;\;6;\;18;\;54;\;162;\;486$. $c_5 - c_3 = 162 - 18 = 144$ ✓. $c_4 - c_2 = 54 - 6 = 48$ ✓. $S_6 = 2+6+18+54+162+486 = 728$ ✓.
Альтернативний шлях. Характеристична властивість: $c_5/c_3 = q^2$ і $c_4/c_2 = q^2$. Але з різниць, а не відношень, характеристичну властивість не застосуєш напряму — потрібне саме виносення множника.
Часті помилки. 1) Записати $c_5 - c_3 = c_1 q^4 - c_1 q^2$ і не помітити спільний множник $c_1 q^2$. 2) Після знаходження $q = 3$ підставити не в $c_4 - c_2 = 48$, а у $c_5 - c_3 = 144$ — обидва дають $c_1 = 2$, але менший вираз простіший для обчислення.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.