Вправа 20.24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.24. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія, $b_6 - b_4 = 48$, $b_3 - b_5 = 24$. Знайдіть $S_5$.
$b_6 - b_4 = b_1 q^5 - b_1 q^3 = b_1 q^3(q^2 - 1) = 48$.
$b_3 - b_5 = b_1 q^2 - b_1 q^4 = b_1 q^2(1 - q^2) = 24$.
$\dfrac{b_6 - b_4}{b_3 - b_5} = \dfrac{b_1 q^3(q^2 - 1)}{-b_1 q^2(q^2 - 1)} = -q$.
$-q = \dfrac{48}{24} = 2$.
$q = -2$.
$b_1 q^2(1 - q^2) = 24$.
$b_1 \cdot 4 \cdot (1 - 4) = 24$.
$-12b_1 = 24$.
$b_1 = -2$.
$S_5 = (-2) \cdot \dfrac{(-2)^5 - 1}{-2 - 1} = $
$= (-2) \cdot \dfrac{-32 - 1}{-3} = $
$= (-2) \cdot \dfrac{-33}{-3} = (-2) \cdot 11 = -22$.
Виноска спільного множника
$b_m - b_k = b_1 q^{k-1}(q^{m-k} - 1)$.
При $m - k = 2$: $b_m - b_k = b_1 q^{k-1}(q^2 - 1)$.
Знаходження $q$ діленням двох різниць
$\dfrac{b_6 - b_4}{b_3 - b_5} = \dfrac{b_1 q^3(q^2-1)}{-b_1 q^2(q^2-1)} = -q$.
Спільний множник $b_1(q^2-1)$ скорочується. Залишається $-q$.
Сума перших $n$ членів
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$, $q \neq 1$.
Чому $b_3 - b_5$ у знаменнику дає мінус. $b_3 - b_5 = b_1 q^2(1 - q^2) = -b_1 q^2(q^2 - 1)$. Різниця «менший мінус більший» (якщо $|q|>1$, то $b_5 > b_3$ за модулем) — звідси мінус перед $b_1 q^2(q^2-1)$. Він і переходить у знаменник: отримуємо $-q$.
Перевірка. Прогресія: $-2;\;4;\;-8;\;16;\;-32;\;64$. $b_6 - b_4 = 64 - 16 = 48$ ✓. $b_3 - b_5 = -8 - (-32) = 24$ ✓. $S_5 = -2+4-8+16-32 = -22$ ✓.
Різниця від задачі 20.23. Там $c_5 - c_3$ і $c_4 - c_2$ давали $q$ в чисельнику (різниця показників $5-3=2$, $4-2=2$, тому відношення = $q^{2-1}=q$). Тут $b_6-b_4$ і $b_3-b_5$: показники $6-4=2$ і $3-5=-2$ (різниця індексів від'ємна, бо $3<5$), що й дає $-q$.
Часті помилки. 1) Не помітити мінус і отримати $q=2$ замість $q=-2$. 2) При підстановці $q=-2$ в $(-2)^5$ написати $32$ замість $-32$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.