Вправа 20.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20.25. Друзі Марічка та Павло, кожен окремо, зареєстрували ФОП. Марічка першого місяця отримала прибуток 60 000 грн, а кожного наступного місяця — на 5 % більше, ніж попереднього. Павло першого місяця також отримав прибуток 60 000 грн, а кожного наступного місяця — на 5 000 грн більше, ніж попереднього.
- Хто з друзів отримав більший загальний прибуток за пів року; на скільки? (Відповідь округліть до тисяч гривень.)
- Як зміниться відповідь на перше запитання, якщо в перший місяць кожен із підприємців отримав прибуток 100 000 грн?
- Зробіть висновки.
1) Початковий прибуток 60 000 грн
Марічка: геометрична прогресія, $b_1 = 60\,000$, $q = 1{,}05$, $n = 6$.
$1{,}05^2 = 1{,}1025$.
$1{,}05^4 = 1{,}1025^2 = 1{,}21550625$.
$1{,}05^6 = 1{,}21550625 \cdot 1{,}1025 \approx 1{,}3401$.
$S_6 = 60\,000 \cdot \dfrac{1{,}3401 - 1}{1{,}05 - 1} =$
$= 60\,000 \cdot \dfrac{0{,}3401}{0{,}05} \approx 60\,000 \cdot 6{,}802 \approx 408\,000$ грн.
Павло: арифметична прогресія, $a_1 = 60\,000$, $d = 5\,000$, $n = 6$.
$S_6 = \dfrac{6(2 \cdot 60\,000 + 5 \cdot 5\,000)}{2} =$
$= \dfrac{6 \cdot 145\,000}{2} = 435\,000$ грн.
$435\,000 - 408\,000 = 27\,000$ грн.
2) Початковий прибуток 100 000 грн
Марічка: $b_1 = 100\,000$, $q = 1{,}05$.
$S_6 = 100\,000 \cdot 6{,}802 \approx 680\,000$ грн.
Павло: $a_1 = 100\,000$, $d = 5\,000$.
$S_6 = \dfrac{6(2 \cdot 100\,000 + 5 \cdot 5\,000)}{2} =$
$= \dfrac{6 \cdot 225\,000}{2} = 675\,000$ грн.
$680\,000 - 675\,000 = 5\,000$ грн.
3) Висновки
При початковому прибутку 60 000 грн фіксований приріст (Павло) вигідніший. При 100 000 грн — відсотковий ріст (Марічка). Переломна точка — приблизно 94 000 грн.
Сума геометричної прогресії ($q \neq 1$)
$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.
Тут $b_1 = $ перший прибуток, $q = 1{,}05$ (приріст на 5 %), $n = 6$ місяців.
Сума арифметичної прогресії
$S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.
Тут $a_1 = $ перший прибуток, $d = 5\,000$ грн, $n = 6$ місяців.
Чому результати змінилися при більшому $b_1$. Фіксований приріст Павла завжди $+5000$ грн/місяць незалежно від бази. Відсотковий приріст Марічки у абсолютних гривнях залежить від бази: при 60 000 це $3000$ грн/місяць (1-й місяць), при 100 000 — вже $5000$ грн (1-й місяць). З ростом бази відсотковий ріст «наздоганяє» і перевищує фіксований.
Переломна точка ~94 000 грн. $S_6(\text{GP}) = S_6(\text{AP})$: $b_1 \cdot 6{,}802 = 6b_1 + 75000$, $0{,}802 b_1 = 75000$, $b_1 \approx 93\,500$ грн. Вище цієї суми вигідніше відсоткове зростання.
Практичний висновок. Під час старту (малий прибуток) фіксований абсолютний приріст кращий. Коли бізнес «розігнався» і база велика — відсоткове зростання обганяє. Ця закономірність діє в багатьох реальних ситуаціях: кредити, депозити, зарплата.
Точність обчислень. $1{,}05^6 = 1{,}340095640625$. Коефіцієнт $S_6/b_1 = 0{,}340095.../0{,}05 = 6{,}8019...$. Округлення до 6,802 дає похибку $\approx 50$ грн на 60 000 — допустимо при округленні відповіді до тисяч.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.